Question

13．如圖，在正方形ABCD中，點P為直線AC上一點，連接BP，過P作PE⊥BP交直線CD于E．試證明：$\frac{BC+CE}{PC}$=$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 作PM⊥BC于M，作PN⊥CD于N，則∠PMB=∠PMC=∠PNE=90°，證明四邊形PMCN是正方形，得出MC=CN，PM=PN，∠MPN=90°，PC=$\sqrt{2}$MC，由ASA證明△BPM≌△EPN，得出BM=EN，得出BC+CE=MC+CN=2MC，即可得出結(jié)論．

解答 證明：作PM⊥BC于M，作PN⊥CD于N，如圖所示：
則∠PMB=∠PMC=∠PNE=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，∠ACB=∠ACD=45°，
∴四邊形PMCN是矩形，PM=PN，
∴四邊形PMCN是正方形，
∴MC=CN，PM=PN，∠MPN=90°，PC=$\sqrt{2}$MC，
∵PE⊥BP，
∴∠BPE=90°，
∴∠BPM=∠EPN，
在△BPM和△EPN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PMB=∠PNE}&{\;}\\{PM=PN}&{\;}\\{∠BPM=∠EPN}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BPM≌△EPN（ASA），
∴BM=EN，
∴BC+CE=BM+MC+CE=EN+CE+MC=MC+CN=2MC，
∴$\frac{BC+CE}{PC}$=$\frac{2MC}{\sqrt{2}MC}$=$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了正方形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，并能進行推理論證是解決問題的關(guān)鍵．