Question

8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=$\frac{4}{3}$x+4分別交x軸，y軸于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C為OB的中點(diǎn)，點(diǎn)D在第二象限，且四邊形AOCD為矩形．
（1）直接寫出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，并求直線AB與CD交點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CD以每秒1個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AO以每秒1個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PH⊥OA，垂足為H，連接NP．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
①若△NPH的面積為1，求t的值；
②點(diǎn)Q是點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)，問BP+PH+HQ是否有最小值，如果有，求出相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果沒有，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）分別令x與y等于0，即可求出點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)，由四邊形AOCD為矩形，可知：CD∥x軸，進(jìn)而可知：D、C、E三點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，由點(diǎn)C為OB的中點(diǎn)，可求點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)C的縱坐標(biāo)代入直線y=$\frac{4}{3}$x+4即可求直線AB與CD交點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）①分兩種情況討論，第一種情況：當(dāng)0＜t＜2時(shí)；第二種情況：當(dāng)2＜t≤6時(shí)；
②由點(diǎn)Q是點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)，先求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，然后連接PB，CH，可得四邊形PHCB是平行四邊形，進(jìn)而可得：PB=CH，進(jìn)而可將BP+PH+HQ轉(zhuǎn)化為CH+HQ+2，然后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知：當(dāng)點(diǎn)C，H，Q在同一直線上時(shí)，CH+HQ的值最小，然后求出直線CQ的關(guān)系式，進(jìn)而可求出直線CQ與x軸的交點(diǎn)H的坐標(biāo)，從而即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)

解答 解：（1）∵直線y=$\frac{4}{3}$x+4分別交x軸，y軸于A，B兩點(diǎn)，
∴令x=0得：y=4，
令y=0得：x=-3，
∴A（-3，0），B（0，4），
∴OA=3，OB=4，
∵點(diǎn)C為OB的中點(diǎn)，
∴OC=2，
∴C（0，2），
∵四邊形AOCD為矩形，
∴OA=CD=3，OC=AD=2，CD∥OA（x軸），
∴D、C、E三點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，
∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為2，將y=2代入直線y=$\frac{4}{3}$x+4得：x=-1.5，
∴E（-1.5，2）；
（2）①分兩種情況討論：
第一種情況當(dāng)0≤t＜1.5時(shí)，如圖1，

根據(jù)題意可知：經(jīng)過t秒，CP=t，AN=t，HO=CP=t，PH=OC=2，
∴NH=3-2t，
∵S_△NPH=$\frac{1}{2}$PH•NH，且△NPH的面積為1，
∴$\frac{1}{2}$×2×（3-2t）=1，
解得：t=1；
第二種情況：當(dāng)1.5≤t≤3時(shí)，如圖2，
根據(jù)題意可知：經(jīng)過t秒，CP=t，AN=t，HO=CP=t，PH=OC=2，
∴AH=3-t，
∴HN=AN-AH=t-（3-t）=2t-3，
∵S_△NPH=$\frac{1}{2}$PH•NH，且△NPH的面積為1，
∴$\frac{1}{2}$×2×（2t-3）=1，
解得：t=2；
∴當(dāng)t=1或2時(shí)，存在△NPH的面積為1；
②BP+PH+HQ有最小值，
連接PB，CH，HQ，則四邊形PHCB是平行四邊形，如圖3，

∵四邊形PHCB是平行四邊形，
∴PB=CH，
∴BP+PH+HQ=CH+HQ+2，
∵BP+PH+HQ有最小值，即CH+HQ+2有最小值，
∴只需CH+HQ最小即可，
∵兩點(diǎn)之間線段最短，
∴當(dāng)點(diǎn)C，H，Q在同一直線上時(shí)，CH+HQ的值最小，
過點(diǎn)Q作QM⊥y軸，垂足為M，
∵點(diǎn)Q是點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)，
∴OA是△BQM的中位線，
∴QM=2OA=6，OM=OB=4，
∴Q（-6，-4），
設(shè)直線CQ的關(guān)系式為：y=kx+b，
將C（0，2）和Q（-6，-4）分別代入上式得：
$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{-6k+b=-4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{k=1}\end{array}\right.$，
∴直線CQ的關(guān)系式為：y=x+2，
令y=0得：x=-2，
∴H（-2，0），
∵PH∥y軸，
∴P（-2，2）．

點(diǎn)評(píng) 此題是一次函數(shù)的綜合題，主要考查了：用待定系數(shù)法求一次函數(shù)關(guān)系式，一次函數(shù)與x軸、y軸交點(diǎn)的求法，及利用線段公理求最值問題等，解（2）中①題的關(guān)鍵是：分兩種情況進(jìn)行討論，解（2）中②題的關(guān)鍵是：利用兩點(diǎn)之間線段最短，解決最值問題．