Question

12．已知一次函數(shù)y₁=k₁x+b與反比例函數(shù)y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$相交于點A、B，與y軸交于點C，與x軸交于D，過點A作AE⊥x軸于點E，點O為DE中點，連接CE，已知S_△ADE=4，tan∠DCO=$\frac{1}{2}$．
（1）求y₁和y₂的解析式；
（2）將△ACE繞著點E順時針旋轉(zhuǎn)90°得△A′C′E，連接AA′、BA′，求△AA′B的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)tan∠DCO=$\frac{1}{2}$設OD=a，OC=2a，根據(jù)S_△ADE=4列式求出a的值，分情況討論：分別寫出D、C、A三點的坐標，對應求出解析式即可；
（2）分兩種情況計算面積：先計算點B的坐標，過B作BF⊥x軸于F，求出BF的長為2，①當k₁＞0，k₂＞0時，如圖3，根據(jù)S_△AA′B=S_△ADA′+S_△A′DB，代入計算即可；②當k₁＜0，k₂＜0時，如圖4，過B作BF⊥x軸于F，同理可求得△AA′B的面積．

解答 解：（1）∵tan∠DCO=$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{OD}{OC}$=$\frac{1}{2}$
設OD=a，OC=2a
∵點O為DE中點，OC∥AE
∴OD=OE，△DOC∽△DEA
∴$\frac{{S}_{△DOC}}{{S}_{△DEA}}$=$\frac{1}{4}$
∵S_△ADE=4，
∴S_△DOC=1
則$\frac{1}{2}$OC•OD=1
$\frac{1}{2}$a•2a=1，a=±1，
分兩種情況：
①如圖1，D（-1，0）、C（0，2）、A（1，4），
把D（-1，0）、C（0，2）代入y₁=k₁x+b中得：$\left\{\begin{array}{l}{-{k}_{1}+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=2}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴y₁=2x+2，
把A（1，4）代入y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$得：k₂=1×4=4，
∴y₂=$\frac{4}{x}$，
②如圖2，D（1，0）、C（0，2）、A（-1，4），
把D（1，0）、C（0，2）代入y₁=k₁x+b中得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-2}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴y₁=-2x+2，
把A（-1，4）代入y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$得：k₂=-1×4=-4，
∴y₂=-$\frac{4}{x}$，
（2）分兩種情況：
①當k₁＞0，k₂＞0時，如圖3，過B作BF⊥x軸于F，
由旋轉(zhuǎn)得：A′E=AE=4，則A′D=OD+OE+A′E=1+1+4=6，
$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+2}\\{y=\frac{4}{x}}\end{array}\right.$        解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-2}\\{{y}_{1}=-2}\end{array}\right.$   $\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=1}\\{{y}_{2}=4}\end{array}\right.$，
∴B（-2，-2），
∴BF=2，
∴S_△AA′B=S_△ADA′+S_△A′DB，
=$\frac{1}{2}$A′D•AE+$\frac{1}{2}$A′D•BF，
=$\frac{1}{2}$×6×4+$\frac{1}{2}$×6×2，
=18；
②當k₁＜0，k₂＜0時，如圖4，過B作BF⊥x軸于F，
同理得：BF=2，
則A′D=A′E-OE-OD=4-1-1=2，
∴S_△AA′B=S_△ADA′+S_△A′DB，
=$\frac{1}{2}$A′D•AE+$\frac{1}{2}$A′D•BF，
=$\frac{1}{2}$×2×4+$\frac{1}{2}$×2×2，
=6；
綜上所述，△AA′B的面積為18或6．

點評 本題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的交點問題，利用解析式組成方程組，求出解即是交點坐標；同時還考查了坐標與圖形變換--旋轉(zhuǎn)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩線段相等；注意在求三角形面積時，將不規(guī)則的三角形化為幾個三角形面積的和來求，比較簡單．