Question

6．已知拋物線C：y=x²-2x+1的頂點為P，與y軸的交點為Q，點F（1，$\frac{1}{2}$）．
（1）求PQ的長度；
（2）將拋物線C向上平移得拋物線C′，點Q平移后的對應點為Q′，且FQ′=OQ′．
①求拋物線C′的解析式；
②若點P關(guān)于直線Q′F的對稱點為D，射線DF與拋物線C′相交于A，求點A的坐標．

Answer 1

分析 （1）令x=0，求出拋物線與y軸的交點，拋物線解析式化為頂點式，求出點P坐標；
（2）①設(shè)拋物線向上平移k個單位，則Q′（0，1+k）．用勾股定理建立方程求出k即可．
②根據(jù)AF=AN，用勾股定理，（x-1）²+（y-$\frac{1}{2}$）²=（x²-2x+$\frac{5}{4}$）+y²-y=y²，求出AF=y，再求出直線Q′F的解析式，即可．

解答 解：（1）由題意P（1，0），Q（0，1）
則PQ=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$．                         

（2）①設(shè)拋物線向上平移k個單位，則Q′（0，1+k）．
∵F（1，$\frac{1}{2}$），O（0，0），F(xiàn)Q′=OQ′，
∴1+（$\frac{1}{2}$+k）²=（1+k）²，
解得k=$\frac{1}{4}$，
∴y=x²-2x+$\frac{5}{4}$，
②設(shè)點A（x₀，y₀），則y₀=x₀²-2x₀+$\frac{5}{4}$，
過點A作x軸的垂線，與直線Q′F相交于點N，則可設(shè)N（x₀，n），

∴AN=y₀-n，其中y₀＞n，
連接FP，
∵F（1，$\frac{1}{2}$），P（1，0），
∴FP⊥x軸，
∴FP∥AN，
∴∠ANF=∠PFN，
連接PK，則直線Q′F是線段PK的垂直平分線，
∴FP=FK，有∠PFN=∠AFN，
∴∠ANF=∠AFN，則AF=AN，
根據(jù)勾股定理，得，AF²=（x₀-1）²+（y₀-$\frac{1}{2}$）²，
∴（x₀-1）²+（y₀-$\frac{1}{2}$）²=（x₀²-2x₀+$\frac{5}{4}$）+y₀²-y₀=y₀²，
∴AF=y₀，
∴y₀=y₀-n，
∴n=0，
∴N（x₀，0），
設(shè)直線Q′F的解析式為y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{5}{4}}\\{k+b=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{5}{4}$，
由點N在直線Q′F上，得，0=-$\frac{3}{4}$x₀+$\frac{5}{4}$，
∴x₀=$\frac{5}{3}$，
將x₀=$\frac{5}{3}$代入y₀=x₀²-2x₀+$\frac{5}{4}$，
∴y₀=$\frac{25}{36}$，
∴A（$\frac{5}{3}$，$\frac{25}{36}$）

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求解析式，線段的垂直平分線的判定和性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是靈活運用勾股定理．