Question

18．計算：$\frac{{1}^{2}+{2}^{2}}{1×2}$+$\frac{{2}^{2}+{3}^{2}}{2×3}$+$\frac{{3}^{2}+{4}^{2}}{3×4}$+$\frac{{4}^{2}+{5}^{2}}{4×5}$+…+$\frac{201{4}^{2}+201{5}^{2}}{2014×2015}$．

Answer 1

分析 把$\frac{{1}^{2}+{2}^{2}}{1×2}$+$\frac{{2}^{2}+{3}^{2}}{2×3}$+$\frac{{3}^{2}+{4}^{2}}{3×4}$+$\frac{{4}^{2}+{5}^{2}}{4×5}$+…+$\frac{201{4}^{2}+201{5}^{2}}{2014×2015}$變形為$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{1}$+$\frac{2}{3}$+$\frac{3}{2}$+$\frac{3}{4}$+$\frac{4}{3}$+$\frac{4}{5}$+$\frac{5}{4}$+…+$\frac{2014}{2015}$+$\frac{2015}{2014}$，再根據(jù)加法交換律和結(jié)合律計算即可求解．

解答 解：$\frac{{1}^{2}+{2}^{2}}{1×2}$+$\frac{{2}^{2}+{3}^{2}}{2×3}$+$\frac{{3}^{2}+{4}^{2}}{3×4}$+$\frac{{4}^{2}+{5}^{2}}{4×5}$+…+$\frac{201{4}^{2}+201{5}^{2}}{2014×2015}$
=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{1}$+$\frac{2}{3}$+$\frac{3}{2}$+$\frac{3}{4}$+$\frac{4}{3}$+$\frac{4}{5}$+$\frac{5}{4}$+…+$\frac{2014}{2015}$+$\frac{2015}{2014}$
=$\frac{2}{1}$+（$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{2}$）+（$\frac{2}{3}$+$\frac{4}{3}$）+（$\frac{3}{4}$+$\frac{5}{4}$）+…+（$\frac{2013}{2014}$+$\frac{2015}{2014}$）+$\frac{2014}{2015}$
=2×2014+$\frac{2014}{2015}$
=4028+$\frac{2014}{2015}$
=4028$\frac{2014}{2015}$．

點評 此題考查了有理數(shù)的混合運算，關(guān)鍵是把$\frac{{1}^{2}+{2}^{2}}{1×2}$+$\frac{{2}^{2}+{3}^{2}}{2×3}$+$\frac{{3}^{2}+{4}^{2}}{3×4}$+$\frac{{4}^{2}+{5}^{2}}{4×5}$+…+$\frac{201{4}^{2}+201{5}^{2}}{2014×2015}$變形為$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{1}$+$\frac{2}{3}$+$\frac{3}{2}$+$\frac{3}{4}$+$\frac{4}{3}$+$\frac{4}{5}$+$\frac{5}{4}$+…+$\frac{2014}{2015}$+$\frac{2015}{2014}$計算．