Question

7．在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中，小輝將一塊矩形紙片ABCD對(duì)折，使AD與BC重合，得到折痕EF（即EF為AB的垂直平分線），把紙片展開，再將△BAM沿BM折疊，得到△BNM（即△BAM≌△BNM）．

（1）如圖1，若點(diǎn)N剛好落在折痕EF上時(shí)，且過N作NG⊥BC，求證：NG=$\frac{1}{2}$BN；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)N剛好落在折痕EF上時(shí)，求∠NBC的度數(shù)；
（3）如圖3，當(dāng)M為射線AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí)，已知AB=3，BC=5，若△BNC是直角三角形時(shí)，請(qǐng)求出AM的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)四邊形ABCD為矩形結(jié)合折疊的性質(zhì)得到△ABM≌△GBN，且EF⊥AB，從而得到四邊形NGBE為矩形，利用矩形的性質(zhì)證得NG=$\frac{1}{2}$BN；           
（2）連接AN，首先由折疊易知△ABM≌△GBN，且EF⊥AB，E為AB中點(diǎn)，從而證得△BAN為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)得到∠NBG=30°即可；
（3）根據(jù)四邊形ABCD為矩形得到∠A=∠MNB=90°，然后分當(dāng)∠NBC=90°、當(dāng)∠BNC=90°  N在矩形ABCD內(nèi)部、當(dāng)∠BNC=90°  N在矩形ABCD外部時(shí)三種情況利用勾股定理求得結(jié)論即可．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠ABC=90°，
∵NG⊥BC，
∴∠NGB=90°，
由折疊易知△ABM≌△GBN，且EF⊥AB，E為AB中點(diǎn)，
∴∠FEB=90°，AB=BN，
∴四邊形NGBE為矩形，
∴BE=NG，
∵BE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$BN，
∴NG=$\frac{1}{2}$BN；           
（2）連接AN，
∵由折疊易知△ABM≌△GBN，且EF⊥AB，E為AB中點(diǎn)，
∴AB=BN，NA=BN，
∴△BAN為等邊三角形，
∴∠ABN=60°，
∵∠ABC=90°，
∴∠NBG=30°；

（3）∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠A=∠MNB=90°，
①當(dāng)∠NBC=90°，∠NCB=90°都不符合題意，舍去，
②當(dāng)∠BNC=90°，N在矩形ABCD內(nèi)部，
∵∠BNC=∠MNB=90°，
∴M、N、C三點(diǎn)共線，
∵AB=BN=3     BC=5∠BNC=90°
∴NC=4
設(shè)AM=MN=x
∵M(jìn)D=5-x，MC=4+x，
∴在Rt△MDC中CD²+MD²=MC²，
3²+（5-x）²=（4+x）²，
解得x=1；
③當(dāng)∠BNC=90°   N在矩形ABCD外部時(shí)，
∵∠BNC=∠MNB=90°，
∴M、C、N三點(diǎn)共線，
∵AB=BN=3，BC=5，∠BNC=90°，
∴NC=4，
設(shè)AM=MN=y，
∵M(jìn)D=y-5，MC=y-4，
∴在Rt△MDC中 CD²+MD²=MC²
3²+（y-5）²=（y-4）²，
解得x=9，
綜上所述：當(dāng)AM=1或9時(shí)△NBC是直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了四邊形的綜合知識(shí)，解答過程中應(yīng)用了全等三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，特別是在解答第三問時(shí)應(yīng)用到了分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度較大，是一道好題．