Question

17．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，G是弧AC上任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)AG，與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，連接AD，GD，CG．
（1）求證：∠AGD=∠FGC；
（2）若AG•AF=48，CD=4$\sqrt{3}$，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）由AB⊥CD，推出EC=ED，推出AC=AD，推出∠3=∠ADC，由∠1+∠AGC=180°，∠AGC+∠ADC=180°，推出∠1=∠ADC，由∠2=∠3，即可證明∠1=∠2；
（2）由△CAG∽△FAC，推出$\frac{AC}{FA}$=$\frac{AG}{AC}$，推出AC²=AG•AF=48，推出AC=4$\sqrt{3}$，在Rt△ACE中，由∠AEC=90°，AC=4$\sqrt{3}$，CE=2$\sqrt{3}$，推出AE=$\sqrt{A{C}^{2}-C{E}^{2}}$=6，由△ACE∽△ABC，可得AC²=AE•AB，推出AB=8即可解決問題．

解答 （1）證明：∵AB⊥CD，
∴EC=ED，
∴AC=AD，
∴∠3=∠ADC，
∵∠1+∠AGC=180°，∠AGC+∠ADC=180°，
∴∠1=∠ADC，
∵∠2=∠3，
∴∠1=∠2，即：∠AGD=∠FGC；

（2）解：∵∠FCG+∠DCG=180°，∠DCG+∠DAG=180°，
∴∠FCG=∠DAG，∵∠1=∠2，
∴∠ADG=∠F，
∵∠ADG=∠ACG，
∴∠ACG=∠F，∵∠CAG=∠CAF，
∴△CAG∽△FAC，
∴$\frac{AC}{FA}$=$\frac{AG}{AC}$，
∴AC²=AG•AF=48，
∴AC=4$\sqrt{3}$，
在Rt△ACE中，∵∠AEC=90°，AC=4$\sqrt{3}$，CE=2$\sqrt{3}$，
∴AE=$\sqrt{A{C}^{2}-C{E}^{2}}$=6，
易知△ACE∽△ABC，
∴AC²=AE•AB，
∴AB=8，
∴⊙O的半徑為4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓周角定理、垂徑定理、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，教育的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．