Question

14．已知邊長為6的正方形OABC在直角坐標系中，（如圖）OA與y軸的夾角為30°．求點A、點B、點C的坐標．

Answer 1

分析 作AD⊥y軸于D，BE⊥y軸于E，CF⊥x軸于F，EB和FC交于點G，則四邊形OEGF是矩形，EG=OF，由正方形的性質和已知條件得出AD=$\frac{1}{2}$OA=3，∠FOC=30°，得出OD=$\sqrt{3}$AD=3$\sqrt{3}$，CF=$\frac{1}{2}$OC=3，OF=$\sqrt{3}$CF=3$\sqrt{3}$，同理：BG=3，CG=3$\sqrt{3}$，求出EG、FG、BE，即可得出結果．

解答 解：作AD⊥y軸于D，BE⊥y軸于E，CF⊥x軸于F，EB和FC交于點G，如圖所示：
則四邊形OEGF是矩形，
∴EG=OF，
∵四邊形OABC是正方形，∠AOE=30°，
∴AD=$\frac{1}{2}$OA=3，∠FOC=30°，
∴OD=$\sqrt{3}$AD=3$\sqrt{3}$，CF=$\frac{1}{2}$OC=3，
∴OF=$\sqrt{3}$CF=3$\sqrt{3}$，
同理：BG=3，CG=3$\sqrt{3}$，
∴EG=OF=3$\sqrt{3}$，F(xiàn)G=CG+CF=3$\sqrt{3}$+3，BE=3$\sqrt{3}$-3，
∴點A、點B、點C的坐標分別為（-3，-3$\sqrt{3}$）、（3$\sqrt{3}$-3，-3$\sqrt{3}$-3）、（3$\sqrt{3}$，-3）．

點評 本題考查了正方形的性質、坐標與圖形性質、矩形的判定與性質、含30°角的直角三角形的性質等知識；本題綜合性強，有一定難度，作出輔助線是解決問題的關鍵．