Question

15．已知A（-3，0），B（1，0），C點與A點關于直線y=-x對稱，拋物線y=ax²+bx+c過A、B、C三點．
（1）求拋物線的解析式，并求拋物線頂點D的坐標；
（2）判斷△ACD的形狀．

Answer 1

分析 （1）先利用關于直線y=-x對稱的點的坐標特征得到C（0，3），設交點式y(tǒng)=a（x+3）（x-1），然后把C點坐標代入求出a即可得到拋物線解析式，再把一般式配成頂點式可得D點坐標；
（2）先利用兩點間的距離公式計算出AD、CD、AC，然后利用勾股定理的逆定理判斷△ADC的現(xiàn)狀．

解答 解：（1）∵C點與A點關于直線y=-x對稱，
∴C（0，3），
設拋物線的解析式為y=a（x+3）（x-1），
把C（0，3）代入得a•3•（-1）=3，解得a=-1，
所以拋物線解析式為y=-（x+3）（x-1），
即y=-x²-2x+3；
∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴拋物線頂點D的坐標為（-1，4）；
（2）∵AC²=3²+3²=18，DC²=1²+（4-3）²=2，AD²=（-1+3）²+4²=20，
∴AC+DC²=AD²，
∴△ACD為直角三角形．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO出關系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或對稱軸時，常設其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求解．