Question

3．如圖，△ABC中，以BC為直徑的圓交AB于點D，∠ACD=∠ABC，E是BC上一點，AE與CD交于點F，若BE=6，tan∠ABC=$\frac{2}{3}$，tan∠AEC=$\frac{5}{3}$，則圓的直徑是10，$\frac{AF}{FE}$=$\frac{10}{9}$．

Answer 1

分析 作EM⊥AB于M，根據(jù)tan∠ABC=$\frac{2}{3}$，tan∠AEC=$\frac{5}{3}$，求出EC、BC與AC的關系，再根據(jù)BC-EC-BE=6，列出方程求出AC，由此即可求出直徑，第二個問題注意求出AD：BD、DM：BD的值即可解決問題．

解答 解：∵BC是直徑，
∴∠BDC=90°，
∵∠ABC+∠BCD=90°，∠ACD=∠ABC，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠ACB=90°，
∵tan∠ABC=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{2}{3}$，tan∠AEC=$\frac{AC}{EC}$=$\frac{5}{3}$，
∴EC=$\frac{3}{5}$AC，BC=$\frac{3}{2}$AC，
∵BC-EC=BE=6，
∴$\frac{3}{2}$AC-$\frac{3}{5}$AC=6，
∴AC=$\frac{20}{3}$，
∴BC=$\frac{3}{2}$×$\frac{20}{3}$=10．
作EM⊥AB于M，
∵∠CAD=∠CBA，∠BCA=∠CDA，
∴△ACD∽△ABC，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AD}{AC}$，
∴AD=$\frac{A{C}^{2}}{AB}$，同理BD=$\frac{B{C}^{2}}{AB}$，
∴$\frac{AD}{BD}$=$\frac{A{C}^{2}}{B{C}^{2}}$=$\frac{4}{9}$，
∴AD=$\frac{4}{9}$BD，
∵EM∥CD，
∴$\frac{DM}{BD}$=$\frac{EC}{CB}$，
∴DM=$\frac{2}{5}$BD，
∵EM∥DF，
∴$\frac{AF}{EF}$=$\frac{AD}{DM}$=$\frac{10}{9}$．
故答案分別為10，$\frac{10}{9}$

點評 本題考查相似三角形、圓周角定理、解直角三角形、平行線分線段成比例定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識．屬于中考�？碱}型