Question

20．若雙曲線y=$\frac{k}{x}$與邊長為5的等邊△A0B的邊0A，AB分別相交于C，D兩點(diǎn)，且DC垂直于AO，求實(shí)數(shù)k的值．

Answer 1

分析 過C點(diǎn)作CE⊥OB于點(diǎn)E，過D點(diǎn)作DF⊥OB于點(diǎn)F，設(shè)BD=x，利用等邊三角形的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)定義表示出BF與DF，進(jìn)而表示出AD與OE，表示出AC與OC的長，得出OE與CE的長，表示出C與D坐標(biāo)，根據(jù)C與D都在反比例函數(shù)的圖象上，得到橫縱坐標(biāo)乘積相等列出方程，求出方程的解得到x的值，即可求出實(shí)數(shù)k的值．

解答 解：過C點(diǎn)作CE⊥OB于點(diǎn)E，過D點(diǎn)作DF⊥OB于點(diǎn)F，設(shè)BD=x．
∵△AOB是邊長為5的等邊三角形，
∴AB=OA=OB=5，∠AOB=∠ABO=∠A=60°，
∴BF=DB•cos∠DBF=$\frac{1}{2}$x，DF=DB•sin∠DBF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴AD=5-x，OF=OB-BF=5-$\frac{1}{2}$x，
∵DC⊥AO，
∴AC=AD•cosA=$\frac{5}{2}$-$\frac{1}{2}$x，
∴OC=OA-AC=$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$，
∴OE=OC•cos∠AOB=$\frac{1}{4}$x+$\frac{5}{4}$，CE=OC•sin∠AOB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x+$\frac{5\sqrt{3}}{4}$，
∴C（$\frac{1}{4}$x+$\frac{5}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$x+$\frac{5\sqrt{3}}{4}$），D（5-$\frac{1}{2}$x，$\frac{\sqrt{3}}{2}$x），
∵C、D都在雙曲線y=$\frac{k}{x}$的圖象上，
∴k=（$\frac{1}{4}$x+$\frac{5}{4}$）（$\frac{\sqrt{3}}{4}$x+$\frac{5\sqrt{3}}{4}$）=（5-$\frac{1}{2}$x）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
解得：x₁=1，x₂=5（舍去），
∴k=（5-$\frac{1}{2}$×1）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$×1=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，設(shè)DB=x，用含x的代數(shù)式表示出C與D點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．