Question

8．如圖，點(diǎn)E為正方形ABCD外一點(diǎn)，點(diǎn)F是線段AE上一點(diǎn)，在△EBF中，∠EBF=90°，BF=BE，連接CE、CF．
（1）求證：△ABF≌△CBE；
（2）填空：用等式表示線段FA、FE、FC之間的數(shù)量關(guān)系為FE²=FA²+FC²．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是正方形可得出AB=CB，∠ABC=90°，再由△EBF是等腰直角三角形可得出BE=BF，通過角的計(jì)算可得出∠ABF=∠CBE，利用全等三角形的判定定理SAS即可證出△ABF≌△CBE；
（2）根據(jù)△EBF是等腰直角三角形可得出∠BFE=∠FEB，通過角的計(jì)算可得出∠AFB=135°，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出∠CEB=∠AFB=135°，通過角的計(jì)算即可得出∠CEF=90°，從而得出△CEF是直角三角形，再根據(jù)勾股定理即可證明；

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=CB，∠ABC=90°，
∵△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，
∴BE=BF，
∴∠ABC-∠CBF=∠EBF-∠CBF，
∴∠ABF=∠CBE．
在△ABF和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{∠ABF=∠CBE}\\{BF=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CBE（SAS）．

（2）解：結(jié)論：FE²=FA²+FC²．理由如下：
∵△EBF是等腰直角三角形，
∴∠BFE=∠FEB=45°，
∴∠AFB=180°-∠BFE=135°，
又∵△ABF≌△CBE，
∴∠CEB=∠AFB=135°，
∴∠CEF=∠CEB-∠FEB=135°-45°=90°，
∴△CEF是直角三角形，
∵FE²=FC²+EC²，
∵△ABF≌△CBE，
∴AF=EC，
∴FE²=FA²+FC²．
故答案為FE²=FA²+FC²．

點(diǎn)評 本題考查了正方形的性質(zhì)．全等三角形的判定及性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及角的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)判定定理SAS證明△ABF≌△CBE；（2）通過角的計(jì)算得出∠CEF=90°．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，通過正方形和等腰三角形的性質(zhì)找出相等的邊，再通過角的計(jì)算找出相等的角，以此來證明兩三角形全等是關(guān)鍵．