Question

3．如圖，直線y=-x+3交y軸于點(diǎn)A，交x軸與點(diǎn)B，拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)B，點(diǎn)P為拋物線上直線AB上方部分上的一點(diǎn)，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，過(guò)P作PE∥x軸交直線AB于，作PH⊥x軸于H，PH交直線AB于點(diǎn)F．
（1）求拋物線解析式；
（2）若PE的長(zhǎng)為m，求m關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）是否存在這樣的t值，使得∠FOH-∠BEH=45°？若存在，求出t值，并求tan∠BEH的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由直線AB的解析式可求得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求得b、c，可求得拋物線解析式；
（2）由P點(diǎn)坐標(biāo)表示出E點(diǎn)的縱坐標(biāo)，代入直線AB解析式，可求得E點(diǎn)橫坐標(biāo)，則可用t表示出PE的長(zhǎng)，可得到m關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）過(guò)E作EG⊥x軸于點(diǎn)G，則可用t表示出GH和EG，由三角形外角的性質(zhì)和已知條件可證得∠EHG=∠FOH，可證明△FOH∽△EHG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得t的值，則可求得tan∠EHG，結(jié)合∠BEH=∠FOH-45°，則可求得tan∠BEH的值．

解答 解：（1）在直線y=-x+3中，令x=0可得y=3，令y=0可得x=3，
∴A（0，3），B（3，0），
∵拋物線y=-x²+bx+c過(guò)A、B兩點(diǎn)，
∴把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入可得$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{-9+3b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-x²+2x+3；
（2）∵P點(diǎn)在拋物線上，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（t，-t²+2t+3），
∵PE∥x軸，
∴E點(diǎn)縱坐標(biāo)為-t²+2t+3，
∵E點(diǎn)在直線AB上，
∴把E點(diǎn)縱坐標(biāo)代入直線AB解析式可得-t²+2t+3=-x+3，解得x=t²-2t，
∴E點(diǎn)橫坐標(biāo)為t²-2t，
∴PE=m=t-（t²-2t）=-t²+3t，
∴m與t的關(guān)系式為m=-t²+3t；
（3）如圖，過(guò)E作EG⊥x軸于點(diǎn)G，

∵OA=OB=3，
∴∠EBO=45°，
∴∠EHG=∠BEH+∠EBO=∠EBH+45°，
∵∠FOH-∠BEH=45°，
∴∠FOH=∠BEH+45°，
∴∠EHG=∠FOH，且∠FHO=∠EGH=90°，
∴△FOH∽△EGH，
∴$\frac{FH}{EG}$=$\frac{OH}{GH}$，
∵OH=t，F(xiàn)在直線AB上，
∴FH=-t+3，
由（2）可知EG=-t²+2t+3，GH=m=-t²+3t，
∴$\frac{-t+3}{-{t}^{2}+2t+3}$=$\frac{t}{-{t}^{2}+3t}$，解得t=1，
∴OH=1，F(xiàn)H=2，
∴tan∠FOH=$\frac{FH}{OH}$=2，
∵∠FOH-∠BEH=45°，
∴∠BEH=∠FOH-45°，
∴tan∠BEH=tan（∠FOH-45°）=$\frac{tan∠FOH-tan45°}{1+tan∠FOH•tan45°}$=$\frac{2-1}{1+2×1}$=$\frac{1}{3}$，
綜上可知存在滿足條件的t的值，t的值為1，tan∠BEH的值為$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、三角函數(shù)的定義等知識(shí)．在（1）中求得A、B的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（2）中表示出E點(diǎn)的橫坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（3）中利用∠FOH-∠BEH=45°，得到∠FOH=∠EHG是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性質(zhì)較強(qiáng)，難度較大．