Question

19．如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，點(diǎn)D是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，連接AD，BD和CD．
（1）如圖1，若∠BDC=90°，BD=1，CD=2，求AC的長(zhǎng)．
（2）如圖2，若CD平分∠ACB，∠BDC=90°，過(guò)點(diǎn)B作BE∥AC交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，求證：AD=DE．
（3）如圖3，若CD=CB，∠BCD=30°，取線段AC的中點(diǎn)F，連接DF，求證：∠AFD=45°

Answer 1

分析 （1）如圖1，先根據(jù)勾股定理求BC的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求AC的長(zhǎng)；
（2）如圖2，作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△BDC≌△PDC，得BD=PD，再證明△BDE≌△PDA，得結(jié)論；
（3）作輔助線，構(gòu)建等邊三角形DBE，證明△CEB≌△CED，得∠BCE=15°，再證明△ABD≌△CBE，
得∠BAD=15°，則∠BAD=∠ABD，所以AD=BD，證明△ADF≌△BDF，得DF平分∠AFB，從而得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，∵∠BDC=90°，BD=1，CD=2，
∴BC=$\sqrt{B{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵AB=BC=$\sqrt{5}$，
由勾股定理得：AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{5+5}$=$\sqrt{10}$；
（2）如圖2，延長(zhǎng)BD交AC于P，
∵DC平分∠ACB，
∴∠BCD=∠ACD，
∵∠BDC=90°，
∴∠BDC=∠PDC=90°，
∵CD=CD，
∴△BDC≌△PDC，
∴BD=PD，
∵BE∥AC，
∴∠E=∠EAC，∠EBD=∠DPA，
∴△BDE≌△PDA，
∴AD=DE；
（3）如圖3，以BD為邊作等邊三角形BDE，連接BF、CE，
∴BD=DE=BE，
∵AB=BC，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，
∴BF⊥AC，
∴∠AFB=90°，
∵∠ABC=90°，
∴BF=AF，
∵CD=BC，∠BCD=30°，
∴∠CBD=∠CDB=75°，
∵CE=CE，
∴△CEB≌△CED，
∴∠BCE=∠DCE=15°，
∵∠CBD=75°，∠DBE=60°，
∴∠CBE=75°-60°=15°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABD=90°-75°=15°，
∴∠ABD=∠CBE，
∴△ABD≌△CBE，
∴∠BAD=∠BCE=15°，
∴∠ABD=∠BAD=15°，
∴AD=BD，
∵DF=DF，
∴△ADF≌△BDF，
∴∠AFD=∠BFD=$\frac{1}{2}$∠AFB=$\frac{1}{2}$×90°=45°．

點(diǎn)評(píng) 本題是三角形的綜合題，考查了全等三角形、等邊三角形、等腰三角形、勾股定理等性質(zhì)，需要的知識(shí)點(diǎn)較多，做好本題要熟練掌握以下幾點(diǎn)：①如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a²+b²=c²；②等腰直角三角形中，兩直角邊相等，且每個(gè)銳角等于45°，斜邊是直角邊的$\sqrt{2}$倍；③等邊三角形的各邊相等且各角為60°；④等腰三角形的底邊上的高、底邊上的中線、頂角的平分線互相重合；此題的第三問(wèn)還可以連接BF交CD于G，證明△BDF∽△CGB得出結(jié)論．