Question

14．如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD是半圓上兩點．AB=26，AC=10
（1）若點D是$\widehat{AB}$的中點，求AD的長；
（2）若點D是$\widehat{BC}$中點，求AD長．

Answer 1

分析 （1）由點D是$\widehat{AB}$的中點，AB是⊙O的直徑，易證得△ABD是等腰直角三角形，又由AB=26，即可求得AD的長；
（2）首先連接OD，由點D是$\widehat{BC}$中點，可得OD垂直平分BC，然后由勾股定理求得BC的長，由三角形中位線的性質，求得OE的長，繼而求得DE，BD，再由勾股定理，求得AD長．

解答 解：（1）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠D=90°，
∵點D是$\widehat{AB}$的中點，
∴AD=BD，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∵AB=26，
∴AD=AB•cos45°=26×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=13$\sqrt{2}$；

（2）連接OD交BC于E點，
∵AB為直徑，
∴AC⊥BC，
又∵AB=26，AC=10，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=24，
∵點D是$\widehat{BC}$中點，
∴OD垂直平分BC，由此可得：OE=$\frac{1}{2}$AC=5，
∴DE=OD-OE=13-5=8，
又∵BE=$\frac{1}{2}$BC=12，
在Rt△BDE中，由勾股定理，得BD²=BE²+DE²=208，
在Rt△ABD中，AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{2{6}^{2}-208}$=12$\sqrt{13}$．

點評 此題考查了圓周角定理、垂徑定理以及勾股定理．注意掌握輔助線的作法．