Question

18．如圖所示，△ABC中，D是BC邊上一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接BF．
（1）求證：△AEF≌△DEC；
（2）若D是BC的中點(diǎn)，則圖中FB和AD有怎樣的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角邊”證明△AEF和△DEC全等；
（2）由全等三角形的性質(zhì)得出FA=DC，證出FA=BD，證明四邊形AFBD是平行四邊形，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，
∵點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，
∴AE=DE，
在△AEF和△DEC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AFE=∠DCE}&{\;}\\{∠AEF=∠DEC}&{\;}\\{AE=AD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△DEC（AAS）；

（2）解：若D是BC的中點(diǎn)，則圖中的FB和AD平行且相等． 理由如下：
由（1）知△AEF≌△DEC，
∴FA=DC，
∵D是BC的中點(diǎn)，
∴BD=DC，
∴FA=BD，
∵AF∥BC，
∴四邊形AFBD是平行四邊形，
∴FB∥AD，且FB=AD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．