Question

10．如圖，在矩形OABC中，OA、OC兩邊分別在x軸y軸的正半軸上，OA=3，OC=2，過OA邊上的D點，沿著BD翻折△ABD，點A恰好落在BC邊上的點E處，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象經(jīng)過點E與BD相交于點F，拋物線y=ax²+bx+2經(jīng)過點E、F．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）求拋物線的解析式；
（3）連接OE、OF、EF，點M是拋物線上一動點，是否存在點M，使△MOE的面積與△OEF相等？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出E點坐標，代入反比例函數(shù)解析式即可；
（2）求出BD解析式，與把y=$\frac{2}{x}$組成方程組，求出F點坐標，把E（1，2），F(xiàn)（2，1）分別代入解析式，得函數(shù)解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+2．
（3）作OM∥EF，求出OM解析式得到M點坐標，求出OF、EM解析式，判讀出OF∥EM，得到四邊形OFEM為平行四邊形，△MOE的面積與△OEF相等．把M（-1，1）代入y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+2得，1=-1，則M在拋物線上．再求出過M平行于OE的直線與拋物線的交點，以及過點F平行于OE的直線與拋物線的交點，即可解決問題．

解答 解：（1）由翻折可知，AD=DE=OC=2，
則OD=3-2=1，E點坐標為（1，2），D（1，0），
k=1×2=2，
反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{2}{x}$；
（2）設(shè)BD解析式為y=kx+b，
把B（3，2），D（1，0）分別代入解析式得，$\left\{\begin{array}{l}3k+b=2\\ k+b=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=1\\ b=-1\end{array}\right.$，
故函數(shù)解析式為y=x-1；
把y=$\frac{2}{x}$和y=x-1組成方程組得，$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{2}{x}\\ y=x-1\end{array}\right.$，
解得x²-x-2=0，
x₁=-1（舍去），x₂=2．
得F點坐標為（2，1），
把E（1，2），F(xiàn)（2，1）分別代入解析式得，$\left\{\begin{array}{l}4a+2b+2=1\\ a+b+2=2\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{2}\\ b=\frac{1}{2}\end{array}\right.$．
故函數(shù)解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+2．
（3）設(shè)EF解析式為y=ax+b，
把E（1，2），F(xiàn)（2，1）分別代入解析式得$\left\{\begin{array}{l}2a+b=1\\ a+b=2\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=3\end{array}\right.$，
函數(shù)解析式為y=-x+3，
作OM∥EF，
則OM解析式為y=-x，
將y=-x與y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+2組成方程組得，$\left\{\begin{array}{l}y=-x\\ y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{1}{2}x+2\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=1\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}x=4\\ y=-4\end{array}\right.$（舍），
得M（-1，1）；
設(shè)OF解析式為y=mx，把F（2，1）代入解析得m=$\frac{1}{2}$，
故函數(shù)解析式為y=$\frac{1}{2}$x，
連接ME，設(shè)ME解析式為y=dx+e，
把M（-1，1），E（1，2）分別代入解析式得$\left\{\begin{array}{l}-d+e=1\\ d+e=2\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}d=\frac{1}{2}\\ e=\frac{3}{2}\end{array}\right.$，
函數(shù)解析式為y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$，
可知OF∥ME，
∴四邊形OFEM為平行四邊形，
∴△MOE的面積與△OEF相等．
把M（-1，1）代入y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+2得，1=-1，則M在拋物線上．
過點M平行于OE的直線為y=2x+3，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+3}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{1}{2}x+2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-1}\end{array}\right.$，
∴點M的坐標還可以為（-2，-1）．
過點F平行于OE的直線為y=2x-3，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-3}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{1}{2}x+2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{Y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-5}\\{y=-13}\end{array}\right.$，
∴點M的坐標還可以為（-5，-13），
把M（-1，1）代入y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+2得，1=-1，則M在拋物線上．
綜上所述點M坐標（-1，1）或（-2，-1）或（-5，-13）．

點評 本題考查了反比例函數(shù)綜合題，涉及待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式、翻折變換、平行四邊形的判定與性質(zhì)，綜合性強，是一道好題．