Question

4．如圖，在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF=45°，且AE+AF=2$\sqrt{3}$，則平行四邊形的周長4$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 由AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF=45°，即可求得∠C的度數(shù)，又由四邊形ABCD是平行四邊形，證得△ABE，△ADF是等腰直角三角形，繼而可得AB+AD=$\sqrt{2}$（AE+AF），則可求得答案．

解答 解：∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠C=360°-∠EAF-∠AEC-∠AFC=135°，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠B=∠D=45°，
∴AB=$\frac{AE}{sin45°}$=$\sqrt{2}$AE，AD=$\frac{AF}{sin45°}$=$\sqrt{2}$AF，
∵AE+AF=2$\sqrt{3}$，
∴AB+AD=$\sqrt{2}$（AE+AF）=2$\sqrt{6}$，
∴平行四邊形的周長為：4$\sqrt{6}$．
故答案為：4$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及等腰直角三角形性質(zhì)．注意能證得△ABE，△ADF是等腰直角三角形是關(guān)鍵．