Question

14．如圖所示的數(shù)陣叫“萊布尼茲調(diào)和三角形”，它是由整數(shù)的倒數(shù)組成的，第n行有n個數(shù)，且兩端的數(shù)都為$\frac{1}{n}$，每個數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和，則第8行第3個數(shù)（從左往右數(shù)）為$\frac{1}{168}$．

Answer 1

分析 觀察圖中三角形的數(shù)陣，將其改寫成等階形式，發(fā)現(xiàn)分母的規(guī)律，第n行第k項的通項是$\frac{1}{{kC}_{n}^{k}}$，由此得出第8行第3個數(shù)．

解答 解：圖中三角形的數(shù)陣，將其改寫成等階形式：
 $\frac{1}{{C}_{1}^{1}}$，
$\frac{1}{{C}_{2}^{1}}$，$\frac{1}{{2C}_{2}^{2}}$，
$\frac{1}{{C}_{3}^{1}}$，$\frac{1}{{2C}_{3}^{2}}$，$\frac{1}{{3C}_{3}^{3}}$，
$\frac{1}{{C}_{4}^{1}}$，$\frac{1}{{2C}_{4}^{2}}$，$\frac{1}{{3C}_{4}^{3}}$，$\frac{1}{{4C}_{4}^{4}}$，
…
因此，第n行第k項的通項是$\frac{1}{{kC}_{n}^{k}}$，故第8行第3個數(shù)是$\frac{1}{{3C}_{8}^{3}}$=$\frac{1}{3×\frac{8×7×6}{3×2×1}}$=$\frac{1}{168}$，
故答案為：$\frac{1}{168}$．

點評 本題主要考查了數(shù)字的變化規(guī)律，根據(jù)已知歸納規(guī)律，運用規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵．