Question

7．已知AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C在半圓O上．
（1）如圖1，若AC=3，∠CAB=30°，求半圓O的半徑；
（2）如圖2，M是$\widehat{BC}$的中點(diǎn)，E是直徑AB上一點(diǎn)，AM分別交CE，BC于點(diǎn)F，D．過(guò)點(diǎn)F作FG∥AB交邊BC于點(diǎn)G，若△ACE與△CEB相似，請(qǐng)?zhí)骄恳渣c(diǎn)D為圓心，GB長(zhǎng)為半徑的⊙D與直線AC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由AB是半圓O的直徑得到∠C=90°，根據(jù)三角函數(shù)的定義求出AB，即可求出半徑；
（2）由（1）得∠ACB=90°，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠AEC=∠CEB=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠1=∠2，∠3=∠4．等量代換得到∠3=∠5，于是得到CF=CD，過(guò)點(diǎn)F作FP∥GB交于AB于點(diǎn)P，則∠FPE=∠6，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠ACE=∠6=∠FPE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CF=FP，推出四邊形FPBG是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到FP=GB，求得CD=GB，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵AB是半圓O的直徑，
∴∠C=90°，
在Rt△ACB中，AB=$\frac{AC}{cos∠CAB}$，
=$\frac{3}{cos30°}$
=2$\sqrt{3}$，
∴OA=$\sqrt{3}$；

（2）⊙D與直線AC相切．
理由如下：
由（1）得∠ACB=90°，
∵∠AEC=∠ECB+∠6，
∴∠AEC＞∠ECB，∠AEC＞∠6，
∵△ACE與△CEB相似，
∴∠AEC=∠CEB=90°，
在Rt△ACD，Rt△AEF中分別有
∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，
∵M(jìn)是$\widehat{BC}$的中點(diǎn)，
∴∠COM=∠BOM，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠4．
∵∠4=∠5，
∴∠3=∠5，
∴CF=CD，
過(guò)點(diǎn)F作FP∥GB交于AB于點(diǎn)P，則∠FPE=∠6，
在Rt△AEC，Rt△ACB中分別有
∠CAE+∠ACE=90°，∠CAE+∠6=90°，
∴∠ACE=∠6=∠FPE，
在△ACF與△APF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{∠ACF=∠APF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△APF，
∴CF=FP，
∵FP∥GB，F(xiàn)G∥AB，
∴四邊形FPBG是平行四邊形，
∴FP=GB，
∴CD=GB，
∵CD⊥AC，
∴點(diǎn)D到直線AC的距離為線段CD的長(zhǎng)，
∴⊙D與直線AC相切．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．