Question

11．在△ABC中，∠ACB=90°，以AB為斜邊作等腰直角三角形ABD，且點D與點C在直線AB的兩側(cè)，連接CD．
（1）如圖1，若∠ABC=30°，則∠CAD的度數(shù)為105°．
（2）已知AC=1，BC=3．
①依題意將圖2補全；
②求CD的長；
小聰通過觀察、實驗、提出猜想，與同學(xué)們進行交流，通過討論，形成了求CD長的幾種想法：
想法1：延長CB，在CB延長線上截取BE=AC，連接DE．要求CD的長，需證明
△ACD≌△BED，△CDE為等腰直角三角形．
想法2：過點D作DH⊥BC于點H，DG⊥CA，交CA的延長線于點G，要求CD的長，需證明△BDH≌△ADG，△CHD為等腰直角三角形．
…
請參考上面的想法，幫助小聰求出CD的長（一種方法即可）．
（3）用等式表示線段AC，BC，CD之間的數(shù)量關(guān)系（直接寫出即可）．

Answer 1

分析 （1）先判斷出∠CAD=∠DBE，再利用等腰直角三角形求出∠ABD=45°，進而求出∠CBD，最后用鄰補角即可得出結(jié)論；
（2）①根據(jù)題意及基本作圖即可補全圖形；
②想法1，構(gòu)造出△ACD≌△BED，進而判斷出△CDE是等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)即可得出解；
想法2，構(gòu)造出△BDH≌△ADG，進而判斷出△CDH是等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（3）同（2）的方法即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵∠ACB=∠ADB=90°，
∴∠CAD+∠CBD═180°．
∵∠DBE+∠CBD═180°，
∴∠CAD=∠DBE．
∵△ADB是等腰直角三角形，
∴∠ABD=45°，
∵∠ABC=30°，
∴∠CBD=∠ABD+∠ABC=75°，
∴∠CAD=∠DBE=180°-75°=105°
故答案為：105°．

（2）①補全圖形，如圖1所示．
②想法1：
如圖2，
∵∠ACB=∠ADB=90°，
∴∠CAD+∠CBD═180°．
∵∠DBE+∠CBD═180°，
∴∠CAD=∠DBE．
∵DA=DB，AC=BE，
∴△ACD≌△BED．
∴DC=DE，∠ADC=∠BDE．
∴∠CDE=90°．
∴△CDE為等腰直角三角形．
∵AC=1，BC=3，
∴CE=4．
∴CD=$2\sqrt{2}$．

想法2：如圖2，
∵∠ACB=∠ADB=90°，
∴∠CAD+∠CBD═180°．
∵∠DAG+∠CAD═180°，
∴∠CBD=∠DAG．
∵DA=DB，∠DGA=∠DHB=90°，
∴△BDH≌△ADG．
∴DH=DG，BH=AG．
∴∠DCH=∠DCG=45°．
∴△CHD為等腰直角三角形．
∵AC=1，BC=3，
∴CH=2．
∴CD=$2\sqrt{2}$．

（3）AC+BC=$\sqrt{2}$CD，
理由：如圖2，
∵∠ACB=∠ADB=90°，
∴∠CAD+∠CBD═180°．
∵∠DBE+∠CBD═180°，
∴∠CAD=∠DBE．
∵DA=DB，AC=BE，
∴△ACD≌△BED．
∴DC=DE，∠ADC=∠BDE．
∴∠CDE=90°．
∴△CDE為等腰直角三角形．
∴CE=$\sqrt{2}$CD，
∵CE=BC+BE=BC+AC．
即：$AC+BC=\sqrt{2}CD$．

點評 此題是三角形綜合題，主要考查了等角的補角相等，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，解本題的關(guān)鍵是構(gòu)造出全等三角形，進而判斷出△CDE或△CDH是等腰直角三角形，是一道中等難度的中考�？碱}．