Question

2．如圖，△ABC和△DEF是兩個全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的頂點E與△ABC的斜邊BC的中點重合．將△DEF繞點E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，線段DE與線段AB相交于點P，線段EF與射線CA相交于點Q．
（1）如圖①，當(dāng)點Q在線段AC上，且AP=AQ時，△BPE和△CQE的形狀有什么關(guān)系，請證明；
（2）如圖②，當(dāng)點Q在線段CA的延長線上時，△BPE和△CQE有什么關(guān)系，說明理由；
（3）當(dāng)BP=1，CQ=$\frac{9}{2}$時，求P、Q兩點間的距離．

Answer 1

分析 （1）依據(jù)△ABC是等腰直角三角形，E是BC的中點，運用SAS即可判定△BPE≌△CQE；
（2）依據(jù)∠B=∠C=∠DEF=45°，即可得到∠BEP=∠EQC，再根據(jù)∠B=∠C，即可判定△BPE∽△CEQ；
（3）先根據(jù)△BPE∽△CEQ，得到$\frac{BP}{CE}$=$\frac{BE}{CQ}$，進(jìn)而得到BE=CE=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$，BC=3$\sqrt{2}$，最后根據(jù)勾股定理，求得Rt△APQ中，PQ=$\sqrt{A{Q}^{2}+A{P}^{2}}$=$\frac{5}{2}$．

解答 解：（1）△BPE≌△CQE．
理由∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=45°，AB=AC，
∵AP=AQ，
∴BP=CQ，
∵E是BC的中點，
∴BE=CE，
在△BPE和△CQE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BP=CQ}\\{∠B=∠C}\\{BE=CE}\end{array}\right.$，
∴△BPE≌△CQE（SAS）；

（2）△BPE∽△CEQ．
理由：∵△ABC和△DEF是兩個全等的等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=∠DEF=45°，
∵∠BEQ=∠EQC+∠C，
即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，
∴∠BEP+45°=∠EQC+45°，
∴∠BEP=∠EQC，
∵∠B=∠C，
∴△BPE∽△CEQ；

（3）如圖②，連結(jié)PQ，
∵△BPE∽△CEQ，
∴$\frac{BP}{CE}$=$\frac{BE}{CQ}$，
∵BP=1，CQ=$\frac{9}{2}$，BE=CE，
∴$\frac{1}{CE}$=$\frac{CE}{\frac{9}{2}}$，
∴BE=CE=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$，
∴BC=3$\sqrt{2}$，
在Rt△ABC中，AB=AC，
∴AB=AC=3，
∴AQ=CQ-AC=$\frac{3}{2}$，PA=AB-BP=2，
在Rt△APQ中，PQ=$\sqrt{A{Q}^{2}+A{P}^{2}}$=$\frac{5}{2}$．

點評 本題屬于幾何變換綜合題，主要考查了全等三角形的判定，相似三角形的判定以及勾股定理的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是輔助線構(gòu)造直角三角形，依據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，列式計算求得BE，CE的長，并運用勾股定理進(jìn)行計算．