Question

14．如圖，連接正五邊形ABCDE的各條對角線圍成一個新的五邊形MNPQR，若AB=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，則MN=$\sqrt{5}$-2．

Answer 1

分析 設(shè)MN=x．由題意可知DE=AB=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，由△DEM∽△CED，可得DE²=EM•EC，列出方程即可解決問題．

解答 解：設(shè)MN=x．由題意可知DE=AB=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∵∠EDM=∠ECD=36°，∠END=∠EDN=72°，
∴DE=EN，同理CD=CM，
∴EM=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$-x，EC=EN+CM-MN=$\sqrt{5}$-1-x，
∵∠DEM=∠DEC，
∴△DEM∽△CED，
∴DE²=EM•EC，
∴（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）²=（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$-x）（$\sqrt{5}$-1-x），
整理得x²-$\frac{3}{2}$（$\sqrt{5}$-1）x+$\frac{（\sqrt{5}-1）^{2}}{4}$=0，
∴[x-$\frac{3}{4}$（$\sqrt{5}$-1）]²=$\frac{5}{16}$（$\sqrt{5}$-1）²，
∴x=$\sqrt{5}$-2或$\frac{1}{2}$（$\sqrt{5}$-1）不合題意舍棄，
∴MN=$\sqrt{5}$-2．

點(diǎn)評 本題考查正五邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)．等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，學(xué)會構(gòu)建方程解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．