Question

4．如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)D在邊AB上運(yùn)動(dòng)，DE平分∠CDB交邊BC于點(diǎn)E，EM⊥BD垂足為M，EN⊥CD垂足為N．

（1）當(dāng)AD=CD時(shí)，求證：DE∥AC；
（2）探究：AD為何值時(shí)，以B，M，E為頂點(diǎn)的三角形與以C，E，N為頂點(diǎn)的三角形相似？

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，得出∠DAC=∠BDE，即可證明DE∥AC．
（2）此題分兩種情況求解，△BME∽△CNE或△BME∽△ENC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得．

解答 （1）證明：∵AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA，
∴∠BDC=2∠DAC，
又∵DE是∠BDC的平分線，
∴∠DAC=∠BDE，
∴DE∥AC；

（2）解：分兩種情況：
①若△BME∽△CNE，必有∠MBE=∠NCE，
此時(shí)BD=DC，
∵DE平分∠BDC，
∴DE⊥BC，BE=EC，
又∵∠ACB=90°，
∴DE∥AC，
∴$\frac{BE}{BC}=\frac{BD}{AB}$即$BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\sqrt{A{C^2}+B{C^2}}=5$，
∴AD=5，
②若△BME∽△ENC，必有∠EBM=∠CEN，
此時(shí)NE∥ME，
∵CD⊥NE，
∴CD⊥AB，
∴AD=AC•cosA=AC•$\frac{AC}{AB}$=6×$\frac{6}{10}$=3.6，
∴當(dāng)AD=5或AD=3.6時(shí)，以B，M，E為頂點(diǎn)的三角形與以C，E，N為頂點(diǎn)的三角形相似．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)和勾股定理，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，要注意不規(guī)則圖形的面積的求解方法．