Question

16．如圖，在Rt△ABC中，斜邊BC=12，∠C=30°，D為BC的中點(diǎn)，△ABD的外接圓⊙O與AC交于F點(diǎn)，過A作⊙O的切線AE交DF的延長線于E點(diǎn)．
（1）求⊙O的半徑；
（2）求線段EF的長．

Answer 1

分析 （1）連接OA，利用直角三角形的性質(zhì)，易得△ABD是等邊三角形，由垂徑定理得AG⊥BD，BG=1/2BD=3，由銳角三角函數(shù)得AG，求得AO；
（2）連接AF，易得∠AFD=180°-∠B=120°，得EF⊥BC，求得DF，證得四邊形AEDG是矩形，得DE=AG=3$\sqrt{3}$，易得EF．

解答 解：（1）∵D為斜邊BC的中點(diǎn)，
∴AD=BD，
又∵∠B=90°-∠C=60°，
∴△ABD是等邊三角形，連接AO并延長交BD于G，則AG⊥BD，且BG=1/2BD=3，
∴AG=3$\sqrt{3}$，
∴AO=2$\sqrt{3}$AG=2$\sqrt{3}$；

（1）連接AF，
∵∠AFD=180°-∠B=120°，
∴∠DFC=60°，
∴EF⊥BC，
∴DF=$\frac{CD}{\sqrt{3}}$=2$\sqrt{3}$，
∵BE是切線，
∴AE⊥AG，
∴四邊形AEDG是矩形，
∴DE=AG=3$\sqrt{3}$，
∴EF=DE-DF=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了圓的切線性質(zhì)，及解直角三角形的知識．運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．