Question

14．在數(shù)學(xué)的世界里，有很多結(jié)論的形式是統(tǒng)一的，這也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的美．請你證明下列兩組條件中，均有等式$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{1}{{x}_{3}}$成立．
（1）如圖1，∠APC=120°，PB平分∠APC，直線l與PA、PB、PC分別交于點(diǎn)A、B、C，PA=x₁，PC=x₂，PB=x₃．
（2）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過點(diǎn)A（x₁，0）、B（0，x₂）作直線l，與直線y=x交于點(diǎn)C，點(diǎn)C橫坐標(biāo)為x₃．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，過點(diǎn)B作BE∥PA交PC于點(diǎn)E，由BE∥PA，推出△BEC∽△APC，得到$\frac{BE}{AP}$=$\frac{EC}{PC}$，即$\frac{{x}_{3}}{{x}_{1}}$=$\frac{{x}_{2}-{x}_{3}}{{x}_{2}}$，即x₂x₃+x₁x₃=x₁x₂，兩邊除以x₁x₂x₃即可解決問題．
（2）如圖2中，過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，CE⊥y軸于點(diǎn)E．由S_△BOC+S_△AOC=S_△AOB，列出式子，即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖1中，過點(diǎn)B作BE∥PA交PC于點(diǎn)E，

∵BE∥PA，
∴△BEC∽△APC，
∵∠APC=120°，PB平分∠APC，可得△PBE是等邊三角形．
∴BE=PE=PB=x₃，
∴EC=x₂-x₃，
∵$\frac{BE}{AP}$=$\frac{EC}{PC}$，
∴$\frac{{x}_{3}}{{x}_{1}}$=$\frac{{x}_{2}-{x}_{3}}{{x}_{2}}$，
∴x₂x₃+x₁x₃=x₁x₂，
∴$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{1}{{x}_{3}}$．

②解：如圖2中，過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，CE⊥y軸于點(diǎn)E．

∵點(diǎn)C在直線y=x上，且橫坐標(biāo)為x₃，∴點(diǎn)C（x₃，x₃），
∴CE=CD=x₃，
∵S_△BOC+S_△AOC=S_△AOB，
∴$\frac{1}{2}$x₂x₃+$\frac{1}{2}$x₁x₃=$\frac{1}{2}$x₁x₂，
∴$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{1}{{x}_{3}}$．

點(diǎn)評 本題考查一次函數(shù)綜合題、相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題．