Question

4．已知，如圖，在△ABC中，AE是角平分線，D是AB上的點，AE、CD相交于點F．
（1）若∠ACB=∠CDB=90°，求證：∠CFE=∠CEF；
（2）若∠ACB=∠CDB=m（0°＜m＜180°）．
①求∠CEF-∠CFE的值（用含m的代數(shù)式表示）；
②是否存在m，使∠CEF小于∠CFE，如果存在，求出m的范圍，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)∠ACB=∠CDB=90°得出∠B=90°-∠DCB，∠ACD=90°-∠DCB，再由AE平分∠CAB即可得出結(jié)論；
（2）①根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得出∠CFE=∠ACD+$\frac{1}{2}$∠CAB，∠CEF=∠B+$\frac{1}{2}$∠CAB，故∠CFE-∠CEF=∠B-∠ACD，再由∠B=180°-m-∠DCB，∠ACD=m-∠DCB即可得出結(jié)論；
②根據(jù)∠CEF小于∠CFE可知∠CEF-∠CFE＜0，故180°-2m＜0，進而可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵∠ACB=∠CDB=90°，
∴∠B=90°-∠DCB，∠ACD=90°-∠DCB，
∴∠B=∠ACD．
∵AE平分∠CAB，
∴∠CFE=∠ACD+$\frac{1}{2}$∠CAB，∠CEF=∠B+$\frac{1}{2}$∠CAB，
∴∠CFE=∠CEF；

（2）①∵∠CFE=∠ACD+$\frac{1}{2}$∠CAB，∠CEF=∠B+$\frac{1}{2}$∠CAB，
∴∠CFE-∠CEF=∠B-∠ACD．
∵∠B=180°-m-∠DCB，∠ACD=m-∠DCB，
∴∠CEF-∠CFE=（180°-m-∠DCB）-（m-∠DCB）=180°-2m；
②存在．
∵要使∠CEF小于∠CFE，則∠CEF-∠CFE＜0，
∴180°-2m＜0，解得m＞90°，
∴當90°＜m＜180°時，∠CEF的值小于∠CFE．

點評 本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形內(nèi)角和是180°是解答此題的關(guān)鍵．