Question

18．如圖，拋物線y=-x²+bx+c 經(jīng)過A（-1，0），C（0，3）兩點，點B是拋物線與x軸的另一個交點，點D與點C關(guān)于拋物線對稱軸對稱，作直線AD．點P在拋物線上，過點P作PE⊥x軸，垂足為點E，交直線AD于點Q，過點P作PG⊥AD，垂足為點G，連接AP．設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m，PQ的長度為d．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求點D的坐標(biāo)及直線AD的解析式；
（3）當(dāng)點P在直線AD上方時，求d關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出d的最大值；
（4）當(dāng)點P在直線AD上方時，若PQ將△APG分成面積相等的兩部分，直接寫出m的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法可求拋物線的解析式；
（2）將y=-x²+2x+3配方得拋物線的對稱軸，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得點D的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法可求直線AD的解析式；
（3）根據(jù)兩點間的距離公式可得d=-m²+2m+3-m-1=-m²+m+2=-（m-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，依此可求d的最大值；
（4）可設(shè)直線PG的解析式為y=-x+P，根據(jù)中點坐標(biāo)公式可得G的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法可求m的值．

解答 解：（1）∵拋物線y=-x²+bx+c 經(jīng)過A（-1，0），C（0，3）兩點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-（-1）^{2}-b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$．
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3．
（2）∵將y=-x²+2x+3配方，得y=-（x-1）²+4，
∴拋物線的對稱軸是直線x=1．
∴點D的坐標(biāo)為（2，3）．
設(shè)直線AD的解析式為y=kx+n，
由題意，得$\left\{\begin{array}{l}{2k+n=3}\\{-k+n=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{n=1}\end{array}\right.$．
∴直線AD的解析式為y=x+1．
（3）∵點P的橫坐標(biāo)為m，
∴點P，Q的縱坐標(biāo)分別為-m²+2m+3，m+1，
∴d=-m²+2m+3-m-1=-m²+m+2=-（m-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴d關(guān)于m函數(shù)關(guān)系式是d=-m²+m+2，d的最大值為$\frac{9}{4}$．
（4）設(shè)直線PG的解析式為y=-x+P，
∵PQ將△APG分成面積相等的兩部分，
∴G的坐標(biāo)為（2m+1，2m+2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-（2m+1）+p=2m+2}\\{-m+p=-{m}^{2}+2m+3}\end{array}\right.$，
解得m₁=0，m₂=-1（不合題意舍去）．
故m的值為0．

點評 考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識點有：待定系數(shù)法可求拋物線的解析式，待定系數(shù)法求直線的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，兩點間的距離公式，中點坐標(biāo)公式，以及方程思想的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．