Question

19．如圖（1），是邊長分別為4$\sqrt{3}$cm和4cm的兩個等邊三角形紙片ABC和C′D′E′疊放在一起（點C與C′重合）
（1）操作：固定△ABC，將△C′D′E′繞點C順時針旋轉(zhuǎn)30°得到△CDE，連接AD、BE、CE的延長線交AB于點F，如圖（2）．
探究：在圖（2）中，線段BE與AD之間有怎樣的大小關(guān)系？試證明你的結(jié)論；
（2）操作：將圖（2）中的△CDE，在射線CF上沿著CF方向平移，平移后的△CDE設(shè)為△PQR，如圖（3）．
探究：設(shè)CQ的長度為xcm（0＜x＜6），△PQR與△ABC重疊部分的面積為ycm²，請直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，不需要寫出求解過程．

Answer 1

分析 （1）BE=AD．證明△BCD≌△ACD，即可得出結(jié)論；
（2）畫出圖形，分三種情況：0＜x≤2，2＜x≤4，4＜x＜6分類討論即可．

解答 解：（1）BE=AD．
證明：如答圖1，∵△ABC與△DCE都是等邊三角形，
∴∠ACB=∠DCE=60°，CA=CB，CE=CD，
∴∠BCE=∠ACD，
在△BCD和△ACD中
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠BCE=∠ACD}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACD，
∴BE=AD．
（2）∵∠BCF=30°，∠B=60°
∴∠BFC=90°，
∵△ABC的邊長是4$\sqrt{3}$cm，
∴CF=6cm，
∵△PQR的邊長是4cm，
∴S_△PQR=4$\sqrt{3}$，
設(shè)CQ的長度為xcm（0＜x＜6），
如答圖2，當0＜x≤2時，QE=CQ=x，
∴ER=4-x，
∵PR⊥AC，∠R=60°，
∴DR=$\frac{1}{2}$（4-x），DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（4-x），
∴S_△DER=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$（4-x）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$（4-x）=$\frac{\sqrt{3}}{8}$（4-x）²，
∴S=S_△PQR-S_△DER=4$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{8}$（4-x）²=-$\frac{\sqrt{3}}{8}{x}^{2}+\sqrt{3}x+2\sqrt{3}$；
如答圖3，當2＜x≤4時，QE=CQ=x，
∴DR=$\frac{1}{2}$（4-x），DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（4-x），PF=x-2，PG=$\sqrt{3}$（x-2），
∴S_△DER=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$（4-x）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$（4-x）=$\frac{\sqrt{3}}{8}$（4-x）²，
S_△PFG=$\frac{1}{2}$×（x-2）×$\sqrt{3}$（x-2）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x-2）²，
∴S=S_△PQR-S_△DER-S_△PFG=4$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{8}$（4-x）²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x-2）²=-$\frac{5\sqrt{3}}{8}{x}^{2}+3\sqrt{3}x$；
如答圖4，當4＜x＜6時，QE=CQ=x，
∴FQ=6-x，F(xiàn)M=$\sqrt{3}$（6-x），
∴S_△FQM=$\frac{1}{2}$×（6-x）×$\sqrt{3}$（6-x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（6-x）²，
∴S=S_△PQR-S_△FQM=4$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（6-x）²=$\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^{2}-6\sqrt{3}x+18\sqrt{3}$；

綜上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{\sqrt{3}}{8}{x}^{2}+\sqrt{3}x+2\sqrt{3}（0＜x≤2）}\\{-\frac{5\sqrt{3}}{8}{x}^{2}+3\sqrt{3}x（2＜x≤4）}\\{\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^{2}-6\sqrt{3}x+18\sqrt{3}（4＜x＜6）}\end{array}\right.$．

點評 本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形面積的表示以及列函數(shù)表達式的綜合應(yīng)用，第2小題能夠畫出圖形，分類討論是解決問題的關(guān)鍵．