Question

9．如圖1，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，D是△ABC內(nèi)部一點，∠ADC=135°，將線段CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE，連接DE．
（1）①依題意補全圖形；②請判斷∠ADC和∠CDE之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出答案．
（2）在（1）的條件下，連接BE，過點C作CM⊥DE，請判斷線段CM，AE和BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（3）如圖2，在正方形ABCD中，AB=$\sqrt{2}$，如果PD=1，∠BPD=90°，請直接寫出點A到BP的距離．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)題意補全圖形即可；②根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即可解答；
（2）線段CM，AE和BE之間的數(shù)量關(guān)系是AE=BE+2CM，理由如下：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明A、D、E三點在同一條直線上，得到AE=AD+DE．再證明△ACD≌△BCE，得到AD=BE．又CD=CE，∠DCE=90°，CM⊥DE，得到DE=2CM，所以AE=BE+2CM．
（3）由PD=1可得：點P在以點D為圓心，1為半徑的圓上；由∠BPD=90°可得：點P在以BD為直徑的圓上．顯然，點P是這兩個圓的交點，由于兩圓有兩個交點，接下來需對兩個位置分別進行討論．然后，添加適當?shù)妮o助線，借助于（2）中的結(jié)論即可解決問題．

解答 解：（1）①如圖所示：

②∠ADC+∠CDE=180°．
（2）線段CM，AE和BE之間的數(shù)量關(guān)系是AE=BE+2CM，理由如下：
∵線段CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE，
∴CD=CE，∠DCE=90°．
∴∠CDE=∠CED=45°．
又∵∠ADC=135°，
∴∠ADC+∠CDE=180°，
∴A、D、E三點在同一條直線上．
∴AE=AD+DE．
又∵∠ACB=90°，
∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，
即∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$
∴△ACD≌△BCE．
∴AD=BE．
∵CD=CE，∠DCE=90°，CM⊥DE．
∴DE=2CM．
∴AE=BE+2CM．
（3）點A到BP的距離為$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$或$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．
理由如下：
∵PD=1，
∴點P在以點D為圓心，1為半徑的圓上．
∵∠BPD=90°，
∴點P在以BD為直徑的圓上．
∴點P是這兩圓的交點．
①當點P在如圖3①所示位置時，
連接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足為H，
過點A作AE⊥AP，交BP于點E，如圖3①．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ADB=45°．AB=AD=DC=BC=$\sqrt{2}$，∠BAD=90°．
∴BD=2．
∵DP=1，
∴BP=$\sqrt{3}$．
∵∠BPD=∠BAD=90°，
∴A、P、D、B在以BD為直徑的圓上，
∴∠APB=∠ADB=45°．
∴△PAE是等腰直角三角形．
又∵△BAD是等腰直角三角形，點B、E、P共線，AH⊥BP，
∴由（2）中的結(jié)論可得：BP=2AH+PD．
∴$\sqrt{3}$=2AH+1．
∴AH=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．
②當點P在如圖3②所示位置時，
連接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足為H，
過點A作AE⊥AP，交PB的延長線于點E，如圖3②．
同理可得：BP=2AH-PD．
∴$\sqrt{3}$=2AH-1．
∴AH=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．
綜上所述：點A到BP的距離為$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$或$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．

點評 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、圓周角定理、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識，考查了運用已有的知識和經(jīng)驗解決問題的能力，是體現(xiàn)新課程理念的一道好題．而通過添加適當?shù)妮o助線從而能用（2）中的結(jié)論解決問題是解決第（3）的關(guān)鍵．