Question

9．如圖，在直角梯形OABC中，BC∥AO，∠AOC=90°，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（5，0），（2，6），點(diǎn)D為AB上一點(diǎn)，且BD=2AD，函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0）經(jīng)過點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．
（1）求k的值；
（2）求四邊形ODBE的面積．

Answer 1

分析 （1）作BH⊥OA于H，DF⊥OA于F，如圖，易得BH=6，BC=2，OA=5，AH=3，證明△ADF∽△ABH，利用相似比可計算出DF=2，AF=1，則可確定D（4，2），然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得k=8；
（2）利用反比例函數(shù)的幾何意義得到S_△COE=4，根據(jù)三角形面積公式和梯形面積公式得到S_△OAD=5，S_梯形OABC=21，然后利用S_{四邊形ODBE}=S_梯形OABC-S_△CDE-S_△OAD進(jìn)行計算．

解答 解：（1）作BH⊥OA于H，DF⊥OA于F，如圖，
∵點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（5，0），（2，6），
∴BH=6，BC=2，OA=5，
∴AH=5-2=3，
∵DF∥BH，
∴△ADF∽△ABH，
∴$\frac{DF}{BH}$=$\frac{AF}{AH}$=$\frac{AD}{AB}$，即$\frac{DF}{6}$=$\frac{AF}{3}$=$\frac{1}{3}$，
∴DF=2，AF=1，
∴OF=OA-AF=4，
∴D（4，2），
∴k=4×2=8；
（2）∵S_△COE=$\frac{1}{2}$×8=4，S_△OAD=$\frac{1}{2}$×5×2=5，S_梯形OABC=$\frac{1}{2}$×（2+5）×6=21，
∴S_{四邊形ODBE}=S_梯形OABC-S_△CDE-S_△OAD=21-4-5=12．

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，把兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點(diǎn)，方程組無解，則兩者無交點(diǎn)．也考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和相似三角形的判定與性質(zhì)．