Question

10．已知二次函數(shù)y=mx²+nx+1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，0）．
（1）若該二次函數(shù)圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求此時(shí)二次函數(shù)的解析式；
（2）若該二次函數(shù)y=mx²+nx+1圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，另一個(gè)交點(diǎn)為B，與y軸交點(diǎn)為C．且S_△ABC=1，求n的值；
（3）若x=1時(shí)，y＞2，試判斷該拋物線在0＜x＜1之間的部分與x軸是否有公共點(diǎn)？若有，求出公共點(diǎn)的坐標(biāo)，若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）點(diǎn)A點(diǎn)代入y=mx²+nx+1可得n=m+1，再根據(jù)判別式的意義得到△=n²-4m=0，即（m+1）²-4m=0，然后解方程求出m即可得到拋物線解析式；
（2）由于n=m+1，則y=mx²+nx+1=mx²+（m+1）x+1=（mx+1）（x+1），通過(guò)解方程（mx+1）（x+1）=0得B（-$\frac{1}{m}$，0），然后根據(jù)三角形面積公式得到$\frac{1}{2}$•|-$\frac{1}{m}$+1|•1=1，解得m=-1或m=$\frac{1}{3}$，然后計(jì)算出對(duì)應(yīng)的n的值即可；
（3）當(dāng)x=1時(shí)，y＞2得m+n+1＞2，把n=m+1代入得到m＞0，則可判斷拋物線開(kāi)口向上，加上過(guò)點(diǎn)（0，1），利用函數(shù)圖象可判斷該拋物線在0＜x＜1之間的部分與x軸沒(méi)有公共點(diǎn)．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A（-1，0）在拋物線y=mx²+nx+1上，
∴m-n+1=0，即n=m+1，
∵二次函數(shù)圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴△=n²-4m=0，
即（m+1）²-4m=0，解得m=1，
∴拋物線解析式為y=x²+2x+1；
（2）∵n=m+1，
∴y=mx²+nx+1=mx²+（m+1）x+1=（mx+1）（x+1），
當(dāng)y=0時(shí)，（mx+1）（x+1）=0，解得x₁=-$\frac{1}{m}$，x₂=-1，
∴B（-$\frac{1}{m}$，0），
當(dāng)x=0時(shí)，y=mx²+nx+1=1，則C（0，1），
∵S_△ABC=1，
∴$\frac{1}{2}$•|-$\frac{1}{m}$+1|•1=1，解得m=-1或m=$\frac{1}{3}$，
當(dāng)m=-1時(shí)，n=m+1=0；當(dāng)m=$\frac{1}{3}$時(shí)，n=m+1=$\frac{4}{3}$，
即n的值為0或$\frac{4}{3}$；
（3）當(dāng)x=1時(shí)，y＞2，即m+n+1＞2，
而n=m+1，
∴m+m+1+1＞2，解得m＞0，
∴拋物線開(kāi)口向上，
∵拋物線與y軸的交點(diǎn)為（0，1），
∴該拋物線在0＜x＜1之間的部分與x軸沒(méi)有公共點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．對(duì)于二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0），△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：△=b²-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．