Question

5．如圖，△ABC中，D是AB的中點，DF∥BC，過點C且與AB平行的直線與DF相交與點F．
（1）求證：四邊形ADCF是平行四邊形；
（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCF是矩形，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）先證明四邊形DBCF是平行四邊形，得出CF∥BD，CF=BD，由中點的定義得出BD=AD，證出CF=AD，即可得出結(jié)論；
（2）由（1）得：四邊形ADCF是平行四邊形，得出DF=BC，由CA=CB，得出CA=DF，即可得出四邊形ADCF是矩形．

解答 （1）證明：如圖所示：
∵DF∥BC，CF∥BD，
∴四邊形DBCF是平行四邊形，
∴CF∥BD，CF=BD，
∵D是AB的中點，
∴BD=AD，
∴CF=AD，
∴四邊形ADCF是平行四邊形；

（2）解：當△ABC滿足CA=CB時，四邊形ADCF是矩形；理由如下：
由（1）得：四邊形ADCF是平行四邊形，
∴DF=BC，
∵CA=CB，
∴CA=DF，
∴四邊形ADCF是矩形．

點評 本題考查了矩形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)；熟練掌握矩形的判定定理，證明四邊形ADCF是矩形是解決問題的關(guān)鍵．