Question

1．如圖，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD，
（1）求證：BE=DF；
（2）若AB=21，AD=9，BC=CD=10，求AC的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)HL證出兩直角三角形全等即可；
（2）根據(jù)全等三角形性質推出AF=AE，DF=BE，設BE=x，則AE=21-x，DF=x，AF=9+x，得出方程21-x=9+x，求出BE，根據(jù)勾股定理求出CE即可．

解答 解（1）∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE=CF，△BCE與△DCF都是直角三角形，
在Rt△BEC和Rt△DFC中
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{CE=CF}\end{array}\right.$，
∴Rt△BEC≌Rt△DFC（HL），
∴BE=DF．

（2）∵Rt△BEC≌Rt△DFC，
∴BE=DF，
∵CF⊥AF，CE⊥AB，
∴∠F=∠CEA=90°，
∵AC平分∠BAF，
∠FAC=∠EAC，
在△FAC和△EAC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠AEC}\\{∠FAC=∠EAC}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△FAC≌△EAC（AAS），
∴AE=AF，
設BE=x，則AE=21-x，DF=x，AF=9+x，
∴21-x=9+x，
∴x=6，即BE=6，
在Rt△BCE中，∵BC=10，BE=6，
∴由勾股定理得：CE=8．

點評 本題考查了全等三角形的性質、角平分線的性質定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法，靈活應用所學知識解決問題，屬于中考�？碱}型．