Question

14．如圖，正方形ABCD的邊長為1，點P在射線BC上（異于點B、C），直線AP與對角線BD及射線DC分別交于點F、Q
（1）若BP=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求∠BAP的度數(shù)；
（2）若點P在線段BC上，過點F作FG⊥CD，垂足為G，當△FGC≌△QCP時，求PC的長；
（3）以PQ為直徑作⊙M．
①判斷FC和⊙M的位置關系，并說明理由；
②當直線BD與⊙M相切時，直接寫出PC的長．

Answer 1

分析 （1）在直角△ABP中，利用特殊角的三角函數(shù)值求∠BAP的度數(shù)；
（2）設PC=x，根據(jù)全等和正方形性質得：QC=1-x，BP=1-x，由AB∥DQ得$\frac{AB}{CQ}=\frac{BP}{PC}$，代入列方程求出x的值，因為點P在線段BC上，所以x＜1，寫出符合條件的PC的長；
（3）①如圖2，當點P在線段BC上時，F(xiàn)C與⊙M相切，只要證明FC⊥CM即可，先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線得CM=PM，則∠MCP=∠MPC，從而可以得出∠MCP+∠BAP=90°，再證明△ADF≌△CDF，
得∠FAD=∠FCD，則∠BAP=∠BCF，所以得出∠MCP+∠BCF=90°，F(xiàn)C⊥CM；
如圖3，當點P在線段BC的延長線上時，F(xiàn)C與⊙M相切，同理可得∠MCD+∠FCD=90°，則FC⊥CM，F(xiàn)C與⊙M相切；
②當點P在線段AB上時，如圖4，設⊙M切BD于E，連接EM、MC，設∠Q=x，根據(jù)平角BFD列方程求出x的值，作AP的中垂線HN，得∠BHP=30°，在Rt△BHP中求出BP的長，則得出PC=$\sqrt{3}$-1；當點P在點C的右側時（即在線段BC的延長線上），如圖5，同理可得：PC=$\sqrt{3}$+1．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABP=90°，
∴tan∠BAP=$\frac{BP}{AB}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{1}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠BAP=30°；
（2）如圖1，設PC=x，則BP=1-x，
∵△FGC≌△QCP，
∴GC=PC=x，DG=1-x，
∵∠BDC=45°，∠FGD=90°，
∴△FGD是等腰直角三角形，
∴FG=DG=CQ=1-x，
∵AB∥DQ，
∴$\frac{AB}{CQ}=\frac{BP}{PC}$，
∴$\frac{1}{1-x}=\frac{1-x}{x}$，
∴x=（1-x）²，
解得：x₁=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$＞1（舍去），x₂=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，
∴PC=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$；
（3）①如圖2，當點P在線段BC上時，F(xiàn)C與⊙M相切，理由是：
取PQ的中點M，以M為圓心，以PQ為直徑畫圓，連接CM，
∵∠PCQ=90°，PQ為直徑，
∴點C是圓M上，
∵△PCQ為直角三角形，
∴MC=PM，
∴∠MCP=∠MPC，
∵∠APB=∠MPC，
∴∠MCP=∠APB，
∵∠APB+∠BAP=90°，
∴∠MCP+∠BAP=90°，
∵AD=DC，∠ADB=∠CDB，F(xiàn)D=FD，
∴△ADF≌△CDF，
∴∠FAD=∠FCD，
∵∠BAP+∠FAD=∠BCF+∠FCD，
∴∠BAP=∠BCF，
∴∠MCP+∠BCF=90°，
∴FC⊥CM，
∴FC與⊙M相切；
如圖3，當點P在線段BC的延長線上時，F(xiàn)C與⊙M也相切，理由是：
取PQ的中點M，以M為圓心，以PQ為直徑畫圓，連接CM，
同理得∠AQD=∠MCQ，點C是圓M上，
∵AD=DC，∠BDA=∠CDB=45°，DF=DF，
∴△ADF≌△CDF，
∴∠FAD=∠FCD，
∵∠AQD+∠FAD=90°，
∴∠MCD+∠FCD=90°，
∴FC⊥MC，
∴FC與⊙M相切；
：②當點P在線段BC上時，如圖4，
設⊙M切BD于E，連接EM、MC，
∴∠MEF=∠MCF=90°，
∵ME=MC，MF=MF，
∴△MEF≌△MCF，
∴∠QFC=∠QFE，
∵∠BAP=∠Q=∠BCF，
設∠Q=x，則∠BAP=∠BCF=x，∠QFE=∠QFC=45°+x，∠DFC=45°+x，
∵∠QFE+∠QFC+∠DFC=180°，
∴3（45+x）=180，
x=15，
∴∠Q=15°，
∴∠BAP=15°，
作AP的中垂線HN，交AB于H，交AP于N，
∴AH=AP，
∴∠BHP=30°，
設BP=x，則HP=2x，HB=$\sqrt{3}$x，
∴2x+$\sqrt{3}$x=1，
x=2-$\sqrt{3}$，
∴PC=BC-BP=1-（2-$\sqrt{3}$）=$\sqrt{3}$-1；
當點P在點C的右側時（即在線段BC的延長線上），如圖5，
同理可得：PC=$\sqrt{3}$+1；
綜上所述：PC=$\sqrt{3}$-1或$\sqrt{3}$+1．

點評 本題是圓的綜合題，綜合考查了正方形、圓及切線、全等三角形的性質及判定；同時利用特殊的三角函數(shù)值求角的度數(shù)，本題還是動點問題，難度較大，尤其是第（3）問，因為不確定點P是在線段BC上還是在延長線上，有此情況存在，所以都要分情況進行討論，從而分別證出結論或求出PC的長．