Question

12．在直角坐標系中，直線y=x+2與y軸交于點A₁，按如圖方式作正方形A₁B₁C₁O、A₂B₂C₂C₁、A₃B₃C₁C₂…，A₁、A₂、A₃…在直線y=x+2上，點C₁、C₂、C₃…在x軸上，圖中陰影部分三角形的面積從左到右依次記為S₁、S₂、S₃、…S_n，則S_n的值為2^2n-1（用含n的代數(shù)式表示，n為正整數(shù)）．

Answer 1

分析 結合正方形的性質結合直線的解析式可得出：A₂B₁=OC₁，A₃B₂=C₁C₂，A₄B₃=C₂C₃，…，結合三角形的面積公式即可得出：S₁=$\frac{1}{2}$OC₁²=2，S₂=$\frac{1}{2}$C₁C₂²=8，S₃=$\frac{1}{2}$C₂C₃²=32，…，根據(jù)面積的變化可找出變化規(guī)律“S_n=2^2n-1（n為正整數(shù)）”，依此規(guī)律即可得出結論．

解答 解：令一次函數(shù)y=x+2中x=0，則y=2，
∴點A₁的坐標為（0，2），OA₁=2．
∵四邊形A_nB_nC_nC_n-1（n為正整數(shù)）均為正方形，
∴A₁B₁=OC₁=2，A₂B₂=C₁C₂=4，A₃B₃=C₂C₃=6，…．
令一次函數(shù)y=x+2中x=2，則y=4，
即A₂C₁=4，
∴A₂B₁=A₂C₁-A₁B₁=2=A₁B₁，
∴tan∠A₂A₁B₁=1．
∵A_nC_n-1⊥x軸，
∴tan∠A_n+1A_nB_n=1．
∴A₂B₁=OC₁，A₃B₂=C₁C₂，A₄B₃=C₂C₃，…．
∴S₁=$\frac{1}{2}$OC₁²=2，S₂=$\frac{1}{2}$C₁C₂²=8，S₃=$\frac{1}{2}$C₂C₃²=32，…，
∴S_n=2^2n-1（n為正整數(shù)）．
故答案為：2^2n-1．

點評 本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、正方形的性質、三角形的面積公式的知識，此題屬規(guī)律性題目，比較復雜．