Question

12．觀察下圖：

我們把正方形中所有x、y相加得到的多項(xiàng)式稱為“正方形多項(xiàng)式”，如第1個(gè)圖形中的“正方形多項(xiàng)式”為4x+y，第2個(gè)圖形中的“正方形多項(xiàng)式”為9x+4y，遵循以上規(guī)律，解答下列問(wèn)題：
（1）第4個(gè)圖形中的“正方形多項(xiàng)式”為25x+16y，第n（n為正整數(shù)）個(gè)圖形中的“正方形多項(xiàng)式”為（n+1）²x+n²y．
（2）如果第1個(gè)圖形中的“正方形多項(xiàng)式”為5，第4個(gè)圖形中的“正方形多項(xiàng)式”為2．
①求x和y的值；
②求“正方形多項(xiàng)式”的值Q的最大值（或最小值），并說(shuō)明是第幾個(gè)圖形．

Answer 1

分析 （1）由前三個(gè)圖形中正方形多項(xiàng)式知x的系數(shù)為序數(shù)加1的平方，y的系數(shù)為序數(shù)的平方，據(jù)此可得；
（2）①根據(jù)（1）中的結(jié)論，列出方程組解之可得x、y的值；
②由①中所求x、y的值代入可得Q=（n+1）²x+n²y=-n²+4n+2=-（n-2）²+6，據(jù)此即可知答案．

解答 解：（1）∵第1個(gè)圖形中“正方形多項(xiàng)式”為：4x+y，
第2個(gè)圖形中“正方形多項(xiàng)式”為：10x+4y，
第3個(gè)圖形中“正方形多項(xiàng)式”為：16x+9y，
∴第4個(gè)圖形中的“正方形多項(xiàng)式”為25x+16y，
第n（n為正整數(shù)）個(gè)圖形中的“正方形多項(xiàng)式”為（n+1）²x+n²y，
故答案為：25x+16y，（n+1）²x+n²y；
                               
（2）①依題意，得$\left\{\begin{array}{l}{4x+y=5}\\{25x+16y=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-3}\end{array}\right.$；
②Q=（n+1）²x+n²y=-n²+4n+2=-（n-2）²+6，
當(dāng)n=2時(shí)，Q最大值為6，
∴第2個(gè)圖形中，“正方形多項(xiàng)式”的值最大，最大值為6．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查圖形的變化規(guī)律和二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題意得出正方形多項(xiàng)式知x的系數(shù)為序數(shù)加1的平方，y的系數(shù)為序數(shù)的平方是解題的關(guān)鍵．