Question

18．邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，其中AB與x軸平行（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，1），反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，直線l：y=kx-2（k≠0）與y軸交于點(diǎn)E．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，試完成下面的問(wèn)題：
①求反比例函數(shù)的解析式；
②當(dāng)直線l把正方形ABCD分為面積相等的兩部分時(shí)，求k的值；
（2）若k=2，當(dāng)直線l與正方形ABCD的邊CD能相交（設(shè)交點(diǎn)為F），且DF不超過(guò)3時(shí)，直接寫出a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）①先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論；
②先根據(jù)正方形的性質(zhì)，判斷出直線l必過(guò)正方形的中心，再求出正方形的中心的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論；
（2）先表示出點(diǎn)C，D的坐標(biāo)，進(jìn)而得出CD的解析式，聯(lián)立直線l的解析式求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，利用點(diǎn)F在線段CD和DF不超過(guò)3，建立不等式求解即可．

解答 解：（1）①∵四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，
∴AB=BC=2，
∵A（2，1），
∴B（4，1），D（2，3），
∴C（4，3），
∵反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，
∴m=4×3=12，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{12}{x}$；

②∵當(dāng)直線l把正方形ABCD分為面積相等的兩部分時(shí)，
∴直線l必過(guò)正方形ABCD的中心，
即：直線l過(guò)正方形ABCD的對(duì)角線BD的中點(diǎn)M（記：BD的中點(diǎn)為M），
由（1）知，B（4，1），D（2，3），
∴M（3，2），
∵直線l的解析式為y=kx-2，
∴2=3k-2，
∴k=$\frac{4}{3}$；

（2）∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，A（2，1），
∴B（a+2，1），D（2，a+1），
∴C（a+2，a+1），
∴直線CD的解析式為y=a+1①，
∵k=2，
∴直線l的解析式為y=2x-2②，
聯(lián)立①②得，x=$\frac{1}{2}$（a-1），y=a+1，
∵F（$\frac{1}{2}$（a-1），（a+1）），
∵點(diǎn)F在邊CD上，
∴2≤$\frac{1}{2}$（a-1）≤a+2，
∴a≥5，
∵D（2，a+1），F(xiàn)（$\frac{1}{2}$（a-1），（a+1）），
∴DF=$\frac{1}{2}$（a-1）-2=$\frac{1}{2}$a-$\frac{5}{2}$，
∵DF不超過(guò)3，
∴$\frac{1}{2}$a-$\frac{5}{2}$≤3，
∴a≤11，
∴5≤a≤11．

點(diǎn)評(píng) 此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，正方形的性質(zhì)，解方程組，不等式，解（1）的關(guān)鍵是求出點(diǎn)C的坐標(biāo)和，掌握正方形的性質(zhì)，解（2）的關(guān)鍵是確定出點(diǎn)F的坐標(biāo)，用方程或不等式的思想解決本題的難點(diǎn)，是一道中等難度的題目．