Question

8．如圖1，已知拋物線C₁：y=a₁x²+b₁x+c₁和C₂：y=a₂x²+b₂x+c₂都經(jīng)過原點，頂點分別為A、B，與x軸的另一個交點分別為M、N，如果點A與點B，點M與點N都關于原點O成中心對稱，則拋物線C₁和C₂為“姐妹拋物線”．
（1）判斷拋物線C₁：y=-x²+2x與C₂：y=x²+2x是否為“姐妹拋物線”？并說明理由．
（2）求拋物線C₁：y=-3x²-4x的“姐妹拋物線”C₂．
（3）順次連接A、N、B、M（如圖2），若四邊形ANBM恰好是矩形，請寫出這對“姐妹拋物線”的表達式（寫出一對即可）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)姐妹拋物線的定義，可得答案；
（2）姐妹拋物線的定義，可得C₂的頂點，C₂余x軸的另一個交點，根據(jù)待定系數(shù)法，可得答案；
（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)，可得A，M點坐標，根據(jù)待定系數(shù)法，可得答案；再根據(jù)姐妹拋物線的定義，可得答案．

解答 解：（1）在拋物線C1：y=-x²+2x中，頂點A（1，1），與x軸的另一個交點M（2，0）；
在拋物線C2：y=x+2x中，頂點B（-1，-1），與x軸的另一個交點N（-2，0）；
∴A與B，M與N都關于原點O成中心對稱，
∴拋物線C1：y=-x2+2x和C2：y=x2+2x是“姐妹拋物線”．
（2）拋物線C1：y=-3x²-4x的頂點A（-$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{3}$），與x軸的另一個交點M（-$\frac{4}{3}$，0），
∴拋物線C2的頂點B（$\frac{2}{3}$，-$\frac{4}{3}$），與x軸的另一個交點N（$\frac{4}{3}$，0），
∴設拋物線C2為y=a（x-$\frac{2}{3}$）²-$\frac{4}{3}$，將N（$\frac{4}{3}$，0）代入，得a（$\frac{4}{3}$-$\frac{2}{3}$）²-$\frac{4}{3}$=0，解之，得a=3，
∴C2：y=3（x-$\frac{2}{3}$）²-$\frac{4}{3}$=3x²-4x．
（3）根據(jù)四邊形ANBM恰好是矩形可得：OA=OM，
∵OA=MA，
∴△AOM是等邊三角形，
設C₁y=ax²+bx，
OM=2，則點A（1，$\sqrt{3}$），M（2，0），代入，得$\left\{\begin{array}{l}{a+b=\sqrt{3}}\\{4a+2b=0}\end{array}\right.$，解之，得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\sqrt{3}}\\{b=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
此時拋物線C1的表達式為y=-$\sqrt{3}$x²+2$\sqrt{3}$x，
C2的表達式為y=$\sqrt{3}$x²+2$\sqrt{3}$x，
故答案為y=-$\sqrt{3}$x²2+2$\sqrt{3}$x，y=$\sqrt{3}$x²+2$\sqrt{3}$x．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，解（1）的關鍵是利用姐妹拋物線的定義；解（2）的關鍵是利用姐妹拋物線的定義得出點B（$\frac{2}{3}$，-$\frac{4}{3}$），與x軸的另一個交點N（$\frac{4}{3}$，0），又利用了待定系數(shù)法；解（3）的關鍵是利用矩形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)得出A，M的坐標，又利用了姐妹拋物線的定義．