Question

13．已知關于x的方程x²-（k+1）x+$\frac{1}{4}$k²+1=0．
（1）當k取何值方程有兩個實數(shù)根．
（2）是否存在k值使方程的兩根為一個矩形的兩鄰邊長，且矩形的對角線長為$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)判別式是非負數(shù)，這樣就可以確定k的取值范圍；
（2）設方程的兩根為x₁，x₂，依題意x₁²+x₂²=5，又根據(jù)根與系數(shù)的關系可以得到x₁+x₂=k+1，x₁•x₂=$\frac{1}{4}$k²+1，而x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂，這樣利用這些等式變形即可求解．

解答 解：（1）∵△=[-（k+1）]²-4×（$\frac{1}{4}$k²+1）=2k-3≥0，
∴k≥$\frac{3}{2}$，
（2）設方程的兩根為x₁、x₂
∴x₁²+x₂²=5，
∵x₁+x₂=k+1，x₁x₂=$\frac{1}{4}$k²+1，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-x₁x₂=（k+1）²-2×（$\frac{1}{4}$k²+1）=5，解得k₁=-6，k₂=2，
∵x₁+x₂=k+1＞0，
∴k＞-1，
∴k=2．

點評 此題主要考查了一元二次方程的根的判別式和根與系數(shù)的關系，首先利用判別式是非負數(shù)確定k的取值范圍，然后利用各與系數(shù)的關系確定k的值．