Question

1．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3cm，BC=4cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AB以2m/s的速度移動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿邊BC的延長(zhǎng)線以1cm/s的速度移動(dòng)．
（1）經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間P，Q兩點(diǎn)之間的距離與AC相等？
（2）連接PC，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多長(zhǎng)時(shí)間時(shí)，S_△PCQ=$\frac{1}{2}$S_△ABC？

Answer 1

分析 （1）設(shè)經(jīng)過x秒P，Q兩點(diǎn)之間的距離與AC相等，則PB=3-2x，BQ=4+x，利用勾股定理建立方程解答即可；
（2）設(shè)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)a秒時(shí)，分兩種情況PB=3-2a或PB=2a-3，CQ=a，根據(jù)三角形的面積計(jì)算公式建立方程解答即可．

解答 解：（1）設(shè)經(jīng)過x秒P，Q兩點(diǎn)之間的距離與AC相等，則PB=3-2x，BQ=4+x，由題意得
（3-2x）²+（4+x）²=3²+4²，
解得：x₁=$\frac{4}{5}$，x₂=0（舍去）
答：經(jīng)過$\frac{4}{5}$秒P，Q兩點(diǎn)之間的距離與AC相等．
（2）設(shè)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)a秒時(shí)，當(dāng)PB=3-2a，CQ=a時(shí)，由題意得
$\frac{1}{2}$×a（3-2a）=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×3×4
此方程無(wú)解．
當(dāng)PB=2a-3，CQ=a時(shí)，由題意得
$\frac{1}{2}$×a（2a-3）=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×3×4
解得：a₁=$\frac{3+\sqrt{57}}{4}$，a₂=$\frac{3-\sqrt{57}}{4}$（舍去）
答：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)$\frac{3+\sqrt{57}}{4}$m時(shí)，S_△PCQ=$\frac{1}{2}$S_△ABC．

點(diǎn)評(píng) 此題考查一元二次方程的實(shí)際運(yùn)用，利用勾股定理和三角形的面積建立方程是解決問題的關(guān)鍵．