Question

8．如圖，AC為⊙O的直徑，DAB為⊙O的割線，E為⊙O上一點(diǎn)，弧BE=弧CE，DE⊥AB于D，交AO的延長(zhǎng)線于F
（1）求證：DF為⊙O的切線；
（2）若AD=$\frac{5}{4}$，CF=3，求tan∠CAE的值．

Answer 1

分析 （1）欲證明DF為⊙O的切線，連接OE，只要證明OE⊥DF即可，只要證明AD∥OE．
（2））由OE∥AD，推出$\frac{OE}{AD}$=$\frac{OF}{FA}$，設(shè)⊙O的半徑為r，則$\frac{r}{\frac{5}{4}}$=$\frac{r+3}{2r+3}$，可得r=1，在Rt△OEF中，EF=$\sqrt{O{F}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{15}$，在Rt△ADF中，DF=$\sqrt{A{F}^{2}-A{D}^{2}}$=$\frac{5}{4}$$\sqrt{15}$，求出DE=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，根據(jù)tan∠CAE=tan∠EAD=$\frac{DE}{AD}$計(jì)算即可．

解答 （1）證明：如圖連接OE．
∵$\widehat{BE}$=$\widehat{CE}$，
∴∠DAE=∠EAC，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∴∠DAE=∠AEO，
∴AD∥OE，
∵AD⊥DF，
∴OE⊥DF，
∴DF是⊙O的切線．

（2）∵OE∥AD，
∴$\frac{OE}{AD}$=$\frac{OF}{FA}$，設(shè)⊙O的半徑為r，
則$\frac{r}{\frac{5}{4}}$=$\frac{r+3}{2r+3}$，
∴r=1，
在Rt△OEF中，EF=$\sqrt{O{F}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{15}$，
在Rt△ADF中，DF=$\sqrt{A{F}^{2}-A{D}^{2}}$=$\frac{5}{4}$$\sqrt{15}$，
∴DE=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
∴tan∠CAE=tan∠EAD=$\frac{\frac{\sqrt{15}}{4}}{\frac{5}{4}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查切線的判定、平行線的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，熟練掌握證明切線的方法，學(xué)會(huì)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．