Question

7．如圖示，若△ABC內(nèi)一點P滿足∠PAC=∠PBA=∠PCB，則點P為△ABC的布洛卡點．三角形的布洛卡點（Brocard  point）是法國數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家克洛爾（A．L．Crelle  1780-1855）于1816年首次發(fā)現(xiàn)，但他的發(fā)現(xiàn)并未被當(dāng)時的人們所注意，1875年，布洛卡點被一個數(shù)學(xué)愛好者法國軍官布洛卡（Brocard   1845-1922）重新發(fā)現(xiàn)，并用他的名字命名．問題：已知在等腰直角三角形DEF中，∠EDF=90°，若點Q為△DEF的布洛卡點，DQ=1，則EQ+FQ=（　�。�

• A． 5
• B． 4
• C． $3+\sqrt{2}$
• D． $2+\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由△DQF∽△FQE，推出$\frac{DQ}{FQ}$=$\frac{FQ}{QE}$=$\frac{DF}{EF}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，由此求出EQ、FQ即可解決問題．

解答 解：如圖，在等腰直角三角形△DEF中，∠EDF=90°，DE=DF，∠1=∠2=∠3，

∵∠1+∠QEF=∠3+∠DFQ=45°，
∴∠QEF=∠DFQ，∵∠2=∠3，
∴△DQF∽△FQE，
∴$\frac{DQ}{FQ}$=$\frac{FQ}{QE}$=$\frac{DF}{EF}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∵DQ=1，
∴FQ=$\sqrt{2}$，EQ=2，
∴EQ+FQ=2+$\sqrt{2}$，
故選D

點評 本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考常考題型．