Question

7．已知，在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，將△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)45°成為Rt△CA′B′，連接AA′并延長(zhǎng)交BB′于點(diǎn)D，求證：BD=B′D．

Answer 1

分析 根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，△BCB'是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求得∠BB'C的度數(shù)，則∠BB'A'可以求得，根據(jù)△AA'C是等腰三角形，即可求得∠AA'C的度數(shù)，則∠BA'D即可求得，進(jìn)而求得∠DA'B'的度數(shù)，然后根據(jù)等角對(duì)等邊即可求解．

解答 證明：將△ABC繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)45°，
又∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°．
∵點(diǎn)Aˊ在BC上，AC=AˊC，
∴在△CAAˊ中，AC=AˊC，∠ACB=45°，
∴∠CAAˊ=∠CAˊA=67.5°，
∵在△CBBˊ中，CB=CBˊ，∠BCBˊ=45°，
∴∠CBBˊ=∠CBˊB=67.5°，
∵BC、AD相交于點(diǎn)Aˊ，
∴∠BAˊD=∠BAˊD=67.5°，
∴DB=DAˊ．
∵∠BAˊBˊ=90°，∠BAˊD=∠AˊBD=67.5°，
∴∠DBˊAˊ=∠DAˊBˊ=22.5°．
∴DBˊ=DAˊ，
又∵DAˊ=DB，
∴DB=DBˊ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等腰三角新的性質(zhì)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得∠BB'A'和∠DA'B'的度數(shù)是關(guān)鍵．