Question

15．已知拋物線(xiàn)y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2}{3}$x經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，拋物線(xiàn)與x軸交于另一點(diǎn)A，點(diǎn)E（3，m）在拋物線(xiàn)上，連接OE，作∠OEF=45°，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)F，求直線(xiàn)EF的解析式．

Answer 1

分析 過(guò)點(diǎn)O作OB⊥EF垂足為B，將x=3代入拋物線(xiàn)的解析式求得點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，-1），由勾股定理求得OE=$\sqrt{10}$，由∠OEF=45°，可知OB=BE=$\sqrt{5}$，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x，y），由點(diǎn)之間的距離公式得到關(guān)于x、y的方程組，從而可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，最后利用待定系數(shù)法可求得EF的解析式..

解答 解：過(guò)點(diǎn)O作OB⊥EF垂足為B．

將x=3代入拋物線(xiàn)的解析式得：y=-1．
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，-1）．
∴OE=$\sqrt{{3}^{2}+（-1）^{2}}$=$\sqrt{10}$．
∵∠OEF=45°，
∴OB=BE=$\sqrt{5}$．
設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x，y），兩點(diǎn)之間的距離公式得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=5}\\{（x-3）^{2}+（y+1）^{2}=5}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$（舍去）．
設(shè)EF的解析式為y=kx+b．將點(diǎn)B、E的坐標(biāo)代入直線(xiàn)解解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=-2\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．
∴直線(xiàn)EF的解析式為y=$\frac{1}{2}x-2\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、勾股定理、兩點(diǎn)之間的距離公式，解二元二次方程組，求得點(diǎn)B的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．