Question

19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中A點(diǎn)的坐標(biāo)為（8，y），AB⊥x軸于點(diǎn)B，sin∠OAB=$\frac{4}{5}$，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象的一支經(jīng)過AO的中點(diǎn)C，且與AB交于點(diǎn)D．
（1）求反比例函數(shù)解析式；
（2）若函數(shù)y=3x與y=$\frac{k}{x}$的圖象的另一支交于點(diǎn)M，求三角形OMB與四邊形OCDB的面積的比．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，求出OA的值，然后根據(jù)勾股定理求出AB的值，然后由C點(diǎn)是OA的中點(diǎn)，求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將C的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$中，即可確定反比例函數(shù)解析式；
（2）先將y=3x與y=$\frac{12}{x}$聯(lián)立成方程組，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后連接BC，分別求出△OMB的面積，△OBC的面積，△BCD的面積，進(jìn)而確定四邊形OCDB的面積，進(jìn)而可求三角形OMB與四邊形OCDB的面積的比．

解答 解：（1）∵A點(diǎn)的坐標(biāo)為（8，y），
∴OB=8，
∵AB⊥x軸于點(diǎn)B，sin∠OAB=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{OB}{OA}=\frac{4}{5}$，
∴OA=10，
由勾股定理得：AB=$\sqrt{O{A}^{2}-O{B}^{2}}=6$，
∵點(diǎn)C是OA的中點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，
∴C（4，3），
∵點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上，
∴k=12，
∴反比例函數(shù)解析式為：y=$\frac{12}{x}$；
（2）將y=3x與y=$\frac{12}{x}$聯(lián)立成方程組，得：
$\left\{\begin{array}{l}{y=3x}\\{y=\frac{12}{x}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2}\\{{y}_{1}=6}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-2}\\{{y}_{2}=-6}\end{array}\right.$，
∵M(jìn)是直線與雙曲線另一支的交點(diǎn)，
∴M（-2，-6），
∵點(diǎn)D在AB上，
∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為8，
∵點(diǎn)D在反比例函數(shù)y=$\frac{12}{x}$的圖象上，
∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為$\frac{3}{2}$，
∴D（8，$\frac{3}{2}$），
∴BD=$\frac{3}{2}$，
連接BC，如圖所示，
∵S_△MOB=$\frac{1}{2}$•8•|-6|=24，
S_{四邊形OCDB}=S_△OBC+S_△BCD=$\frac{1}{2}$•8•3+$\frac{1}{2}•\frac{3}{2}•4$=15，
∴$\frac{S△MOB}{S四邊形OCDB}=\frac{24}{15}=\frac{8}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式及計算圖形面積的問題．解題的關(guān)鍵是：確定交點(diǎn)的坐標(biāo)．