Question

8．如圖，在邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn)，則BE+DE的最小值為$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 作B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接BB′、B′D，交AC于E，此時(shí)BE+ED=B′E+ED=B′D，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知B′D就是BE+ED的最小值，故E即為所求的點(diǎn)．

解答 解：作B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接BB′、B′D，交AC于E，此時(shí)BE+ED=B′E+ED=B′D，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知B′D就是BE+ED的最小值，
∵B、B′關(guān)于AC的對(duì)稱，
∴AC、BB′互相垂直平分，
∴四邊形ABCB′是平行四邊形，
∵三角形ABC是邊長(zhǎng)為2，
∵D為BC的中點(diǎn)，
∴AD⊥BC，
∴AD=$\sqrt{3}$，BD=CD=1，BB′=2AD=2$\sqrt{3}$，
作B′G⊥BC的延長(zhǎng)線于G，
∴B′G=AD=$\sqrt{3}$，
在Rt△B′BG中，
BG=$\sqrt{BB{′}^{2}-B′{G}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=3，
∴DG=BG-BD=3-1=2，
在Rt△B′DG中，B′D=$\sqrt{D{G}^{2}+B′{G}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{7}$．
故BE+ED的最小值為$\sqrt{7}$．
故答案為：$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是最短路線問(wèn)題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：軸對(duì)稱的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理等，有一定的綜合性，但難易適中．