Question

20．如圖，AB是半圓O的直徑，射線AM⊥AB，點(diǎn)P在AM上，連接OP交半圓O于點(diǎn)D，PC切半圓O于點(diǎn)C，連接BC，OC．
（1）求證：△OAP≌△OCP；
（2）若半圓O的半徑等于2，填空：
①當(dāng)AP=2時(shí)，四邊形OAPC是正方形；
②當(dāng)AP=2$\sqrt{3}$時(shí)，四邊形BODC是菱形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)切線的性質(zhì)，可以得到OP⊥AC，然后利用“HL”證明：△OAP≌△OCP；
（2）①根據(jù)正方形的性質(zhì)可以得到AP的長(zhǎng)；
②先利用菱形的性質(zhì)得到△OBC為等邊三角形，則∠B=60°，所以∠AOP=60°，然后在Rt△OAP中利用正切的定義求AP即可．

解答 （1）證明：∵PC切半圓O于點(diǎn)C，
∴OC⊥PC，
∵AM⊥AB，
∴∠OAP=90°，
在Rt△OAP和Rt△OCP中
$\left\{\begin{array}{l}{OP=OP}\\{OA=OC}\end{array}\right.$，
∴Rt△OAP≌Rt△OCP；
（2）解：①∵Rt△OAP≌Rt△OCP，
∴PA=PC，
而OA=OC，
∴當(dāng)AO=AP時(shí)，四邊形OAPC為菱形，
而∠OAP=90°，
∴四邊形OAPC是正方形，
此時(shí)AP=OA=2；
②∵四邊形BODC是菱形，
∴OB=OD=CD=BC，BC∥OD，
∴△OBC為等邊三角形，
∴∠B=60°，
∴∠AOP=60°，
在Rt△OAP中，∵tan∠AOP=$\frac{AP}{OA}$，
∴AP=2tan60°=2$\sqrt{3}$，
即AP=2$\sqrt{3}$時(shí)，四邊形BODC是菱形．
故答案為2，2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的綜合題：熟練掌握切線的性質(zhì)、菱形和正方形的判定方法；會(huì)靈活利用全等三角形的判定方法證明兩三角形全等．