Question

20．已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與x軸交于（2，0），（x₁，0）且1＜x₁＜2，與y軸正半軸交點在（0，2）的下方，下列結(jié)論：①a＜b＜0；②b²-4ac＞-8a；③4a+c＜0；④2a-b+1＜0，其中正確的是：②．

Answer 1

分析 根據(jù)已知畫出圖象，得到拋物線開口向上，則a＞0，由對稱軸x=-$\frac{2a}$＞0可知b＜0，由與y軸正半軸交點在（0，2）的下方可知0＜c＜2，由與x軸交于兩點可知＞0，根據(jù)結(jié)論判斷即可．

解答 解：根據(jù)二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與x軸交于點（2，0）、（x₁，0），且1＜x₁＜2，與y軸的正半軸的交點在（0，2）的下方，畫出圖象為：如圖
由圖象開口向下知a＞0，
由y=ax²+bx+c與x軸的另一個交點坐標(biāo)為（x₁，0 ），且1＜x₁＜2，
則該拋物線的對稱軸為x=-$\frac{2a}$＞0，
∴b＜0，∴①錯誤；
∵拋物線與x軸有兩個交點，
∴b²-4ac＞0，
∵a＞0，
∴-8a＜0，
∴b²-4ac＞-8a，∴②正確；
∵a＞0，c＞0，
∴4a+c＞0，∴③錯誤；
∵a＞0，b＜0，
∴2a-b+1＞0，∴④錯誤．
故答案為②．

點評 本題考查了二次函數(shù)和系數(shù)的關(guān)系：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象為一條拋物線，當(dāng)a＞0，拋物線的開口向上，在對稱軸x=-$\frac{2a}$的左側(cè)，y隨x的增大而減小，在對稱軸x=-$\frac{2a}$的右側(cè)，y隨x的增大而增大；當(dāng)a＜0，拋物線的開口向下，當(dāng)x=-$\frac{2a}$時，函數(shù)值最大；拋物線與y軸的交點坐標(biāo)為（0，c）．