Question

15．如圖，AB為⊙O直徑，弦CD⊥AB，垂足為H，已知⊙O的半徑為2，CD=2$\sqrt{3}$．
（1）求弦AC的長；
（2）此圓周上到直線AC的距離為1的點有幾個？說明你的理由．

Answer 1

分析 （1）作OF⊥AC于F，連接OC，則AF=CF，由垂徑定理得出CH=DH=$\frac{1}{2}$CD=$\sqrt{3}$，由勾股定理求出OH，求出∠COH=60°，由圓周角定理得出∠OAC=30°，OF=$\frac{1}{2}$OA=1，得出AC=2AF=2$\sqrt{3}$即可；
（2）延長OF交⊙O于M點，由OF=1，得出MF=1；另外過O點作AC的平行線交⊙O于點N、K，由OF=1，得出點N、K到直線AC的距離為1，即可得出結(jié)果．

解答 解：（1）作OF⊥AC于F，連接OC，如圖1所示：
則AF=CF，
∵CD⊥AB于H，∴CH=DH=$\frac{1}{2}$CD=$\sqrt{3}$，
在Rt△OCH中，
∵OH=$\sqrt{{2}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=1，
∴∠OCH=30°，∠COH=60°，
∴∠OAC=30°，
∴OF=$\frac{1}{2}$OA=1，
∴AC=2AF=2$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=2$\sqrt{3}$；
（2）此圓周上到直線AC的距離為1的點共有三個，理由如下：
如2圖所示：
其一是延長OF交⊙O于M點，
∵OF=1，
∴MF=1；
另外過O點作AC的平行線交⊙O于點N、K，
∵OF=1，
∴點N、K到直線AC的距離為1．

點評 本題考查了垂徑定理、勾股定理、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、圓周角定理等知識；熟練掌握垂徑定理和圓周角定理，運用勾股定理進行計算是解決問題的關(guān)鍵．